Δευτέρα, 27 Μαρτίου 2017

Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί οριζόντια, μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l=4m και μάζας m=12kg. Σε μια στιγμή t0=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=6Ν, η οποία ασκείται στο σημείο Κ, όπου (ΒΚ)=1m και αρχικά είναι κάθετη στη σανίδα. Τη χρονική στιγμή t1=2s το σημείο εφαρμογής της δύναμης Κ, έχει μετατοπισθεί κατά xΚ=1,6m στην διεύθυνση της ασκούμενης δύναμης, ενώ η σανίδα έχει περιστραφεί κατά γωνία θ, όπως στο σχήμα. Κατά την κίνηση της σανίδας δεν εμφανίζονται τριβές.
i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Κ, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη (για t=0+).
ii) Να υπολογιστεί η γωνία περιστροφής θ της σανίδας.
iii) Πόση ενέργεια μεταφέρεται στη σανίδα μέσω του έργου της δύναμης από 0-t1;
iv) Με ποιο ρυθμό μεταφέρεται ενέργεια στη σανίδα τη στιγμή t1;
ή
Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Παρασκευή, 24 Μαρτίου 2017

Η κίνηση της πλάκας πάνω στο μηχανέλαιο

Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες
R1=0,1m και R2=0,2m και μάζες M1=2kg και Μ2=4kg αντίστοιχα. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Η τροχαλία στερεώνεται σε τραπέζι στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Πάνω στο λάδι ηρεμεί μια ξύλινη πλάκα μάζας m1=lkg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης A=200cm2. Η πλάκα συνδέεται με την τροχαλία στο αυλάκι του μικρού δίσκου της μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος, (νήμα 1).  Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό δεύτερο νήμα, (νήμα 2), στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει σώμα μάζας m2=5kg. 
Συνέχεια εδώ

Η πτώση της ράβδου.

Μια ομογενής ράβδος μάζας 12kg και μήκους 2,5m συγκρατείται όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°,ενώ το κέντρο της Κ απέχει h=4,2m από το λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή αφήνεται να πέσει.
i) Η κίνηση της ράβδου θα είναι:
α) μεταφορική,   β) σύνθετη
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας, τη στιγμή που η ράβδος κτυπάει στο επίπεδο.
iii) Αν η κρούση είναι ελαστική και το κέντρο Κ αποκτήσει (μετά την κρούση) ταχύτητα μέτρου υ2=1,15m/s, διαφορετικής κατεύθυνσης από την κατεύθυνση της ταχύτητας πριν  την κρούση:
 α) Ποια η κατεύθυνση της ταχύτητας υ2;
 β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου μετά την κρούση.
iv) Να υπολογιστούν οι μεταβολές:
  α) της ορμής
  β) της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το Κ 
που οφείλονται στην κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνάει από το μέσον της
Ι= 1/12 Μl2 και g=10m/s2.
ή
Η πτώση της ράβδου.

Τετάρτη, 22 Μαρτίου 2017

Η τροχαλία και η κρούση

Στο σχήμα εμφανίζεται το ίδιο σύστημα σε ισορροπία, με την μόνη διαφορά ότι το αβαρές νήμα έχει πολλές φορές τυλιχθεί στο αυλάκι της Α τροχαλίας, σε αντίθεση με το δεύτερο νήμα, που απλά περνά από το αυλάκι της Β.
i) Για την ισορροπία του συστήματος ασκούμε κατακόρυφες δυνάμεις στο μικρότερο σώμα Σ2. Για τα μέτρα τους ισχύει:
α) F12,   β)  F1= F2,   γ) F1> F2.

ii) Αν καταργήσουμε τις ασκούμενες δυνάμεις, τότε το σώμα Σ1 πέφτει και μετά από λίγο προσκολλάται στο έδαφος, ενώ τα νήματα δεν γλιστρούν στα αυλάκια των τροχαλιών. Στη διάρκεια της πτώσης:
α) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Α.
β) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Β.
γ) Οι δύο τροχαλίες αποκτούν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση.
iii) Αμέσως μετά την πρόσκρουση του Σ1 με το έδαφος, μεγαλύτερη κατά μέτρο γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:
α) Η Α τροχαλία,  β) Η Β τροχαλία,  γ) αποκτούν γωνιακές επιταχύνσεις με ίδιο μέτρο.
ή
Η τροχαλία και η κρούση

Δευτέρα, 20 Μαρτίου 2017

Εφαρμογές στη δυναμική του κέντρου μάζας στερεού σώματος




Εφαρμογή 1η
Ομογενής δίσκος ακτίνας R ηρεμεί στην άκρη λείου οριζόντιου τραπεζιού με το κέντρο του Κ να βρίσκεται στην κατακόρυφη που διέρχεται από την γωνία Ο του τραπεζιού. Δίνουμε στο δίσκο μια αμελητέα αρχική ταχύτητα και αυτός αρχίζει να στρέφεται περί το Ο χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε:

Εφαρμογές στη δυναμική του κέντρου μάζας στερεού σώματος

Κυριακή, 19 Μαρτίου 2017

Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Η ομογενής ράβδος του σχήματος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m, είναι αρθρωμένη στο άκρο της Ο, γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Η ράβδος ισορροπεί, κρεμασμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος, το οποίο έχει προσδεθεί στο σημείο Β, όπου (ΒΑ)=0,4m, σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος κατέρχεται και τη στιγμή που γίνεται οριζόντια, το άκρο της Α έχει ταχύτητα υΑ=6m/s.
i)  Για την αρχική θέση (πριν να κοπεί το νήμα), να βρεθεί η τάση του νήματος, καθώς και η γωνία θ που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση.
ii) Να βρεθεί η κατακόρυφη επιτάχυνση του μέσου Κ της ράβδου καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση, στην οριζόντια θέση.
iii) Αναφερόμενοι στην οριζόντια θέση, δυο μαθητές, ο Χ και ο Υ, θέλουν να υπολογίσουν τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το άκρο Ο (ισοδύναμα ως προς σταθερό οριζόντιο άξονα z κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το άκρο Ο). Ο Χ θεωρεί την κίνηση στροφική γύρω από τον άξονα z, ο Υ θεωρεί την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική του κέντρου μάζας και μια περιστροφή γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το Κ.
Ποιες είναι οι απαντήσεις που θα δώσουν;
iv) Να υπολογιστεί επίσης η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς:
 α) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το μέσον της Κ της ράβδου.
 β) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής, ο οποίος περνά από το άκρον Α της ράβδου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm= (1/12)∙ Μl2 και g=10m/s2.
ή
Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Πέμπτη, 16 Μαρτίου 2017

Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός μάζας 8kg ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, με την επίδραση δύναμης F, η οποία μέσω κατάλληλου μηχανισμού, ασκείται στο κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα.
i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό.
ii) Σε μια στιγμή (t0=0) αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F1=60Ν. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο του τροχού τη στιγμή t1=4s.
iii) Τη στιγμή t1, το μέτρο της δύναμης αυξάνεται στην τιμή F2=160Ν.
 α) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας υcm του κέντρου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-6s.
β) Να υπολογιστούν τα έργα της δύναμης και της τριβής, από t0 μέχρι τη στιγμή t2=6s.
γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του τροχού, τη στιγμή t2.
Δίνονται: Για τον τροχό Ι= ½ ΜR2  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο, ημθ=0,6 και συνθ=0,8, g=10m/s2, ενώ για τους συντελεστές τριβής μεταξύ τροχού και επιπέδου μ=μs=0,5.
ή
Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Κυριακή, 12 Μαρτίου 2017

Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα


Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται μια σφαίρα με ταχύτητα κέντρου μάζας υ0cm=6m/s. Σε μια στιγμή συναντά στην πορεία της ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ (ημθ=0,6), στο οποίο συνεχίζει την κίνησή της, χωρίς να αναπηδήσει.
i)  Αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο, σε πόσο ύψος θα ανέβη το κέντρο Ο της σφαίρας;
ii) Αν υπήρχε τριβή, με αποτέλεσμα να συνεχίσει η σφαίρα την κύλισή της, ποιο θα ήταν το αντίστοιχο μέγιστο ύψος ανόδου;
iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου, για την παραπάνω άνοδο;
iii) Αν μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου είχαμε συντελεστές τριβής μ=μορ=0,125, πόση θερμική ενέργεια αναπτύσσεται κατά την άνοδο της σφαίρας κατά μήκος του επιπέδου, αν η ακτίνα της σφαίρας ήταν R=0,2m και η μάζα της 1kg.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι= 2/5 mR2, ενώ g=10m/s2.
ή
Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα


Σάββατο, 4 Μαρτίου 2017

Μια ράβδος κρέμεται και μετά γλιστράει

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2m και μάζας 4kg, κρέμεται μέσω νήματος, το οποίο  δένεται στο άκρο της Β, από σταθερό σημείο Ο, ενώ στηρίζεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) με το άκρο της Α.

i)  Σε ποια ή σε ποιες από τις παραπάνω θέσεις μπορεί να ισορροπεί η ράβδος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, εξηγώντας και την ισορροπία και τη μη ισορροπία, για κάθε περίπτωση.
ii) Η ράβδος αυτή τοποθετείται σε άλλο οριζόντιο επίπεδο (2) με το οποίο σχηματίζει γωνία θ, και αφήνεται να πέσει, ξεκινώντας από την ηρεμία. Αν το άκρο της Α μετατοπισθεί κατά 0,2m, μέχρι που το άκρο Β να φτάσει στο επίπεδο:
 α) Να αποδείξετε ότι το επίπεδο (2) είναι λείο.
 β) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α.
γ) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που γίνεται οριζόντια (που το άκρο Β φτάνει στο επίπεδο…).
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= 1/12 Μl2 , g=10m/s2, ενώ συνθ=0,8 και ημθ=0,6.


Διαγώνισμα στα ρευστά 2016 - 2017

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ  4- ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ –(2016-17)
 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΡΕΥΣΤΑ
     ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ


Στο διπλανό σχήμα δείχνεται μία δεξαμενή διατομής Α = 5 m2 την οποία γεμίζουμε με νερό μέσω αντλίας από πηγάδι του οποίου η επιφάνεια του νερού βρίσκεται σταθερά σε βάθος  H1 = 2,8 m κάτω από το οριζόντιο έδαφος. Η δεξαμενή έχει ύψος H = 1,8 m και βρίσκεται σε βάση ύψους h = 3,2 m από το έδαφος.  Η παροχή της αντλίας είναι Π1 = 2·10–3 m3/s και το νερό εκρέει στη δεξαμενής με ταχύτητα υ = 2 m/s (βλέπε σχήμα). Η αντλία με κατάλληλο μηχανισμό έναρξης – διακοπής κρατά διαρκώς  γεμάτη τη δεξαμενή. Στο σημείο Γ , δίπλα στη βάση της δεξαμενής, υπάρχει οπή με διατομή Α2 = 4 cm2, που συνδέεται με λάστιχο ίδιας διαμέτρου και μετά το σημείο  Δ καταλήγει σε στενότερο σωλήνα διατομής Α3 = 2 cm2.  Στο σημείο Γ υπάρχει διακόπτης που  αρχικά είναι κλειστός.
 Να υπολογίσετε:


Στον παραπάνω σύνδεσμο θα βρείτε το διαγώνισμα που είχα γράψει για τα Ψ.Ε.Β. (περίπου τον Νοέμβριο) και δημοσιεύτηκε 1η  Μαρτίου 2017.
Δεν έχω δημοσιεύσει λύσεις περιμένοντας πρώτα την δημοσίευση τους από το Ψ.Ε.Β.
Ωστόσο αν κάποιος φίλος το επιθυμεί μπορεί να μου γράψει να του τις στείλω.

Τετάρτη, 1 Μαρτίου 2017

Ισορροπίες και τριβές

Γύρω από έναν τροχό  ακτίνας R και μάζας  Μ=10kg, τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού το περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του κρεμάμε έναν αβαρή δίσκο. Ο τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μs=0,6, ενώ εμποδίζεται να κινηθεί από ένα ακλόνητο εμπόδιο ύψους h=R, με το οποίο ο τροχός δεν εμφανίζει τριβές.
i) Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό, πριν βάλουμε κάποια σταθμά στο δίσκο.
ii) Μπορεί ο τροχός να υπερπηδήσει το εμπόδιο, αν τοποθετήσουμε στο δίσκο κατάλληλα σταθμά;
iii) Τοποθετούμε στο δίσκο σταθμά μάζας m=2kg. Να εξετάσετε αν ο δίσκος θα κατέβει ή όχι, υπολογίζοντας και την δύναμη που ασκεί το εμπόδιο  στον τροχό.
iv) Αν το οριζόντιο επίπεδο ήταν λείο, ενώ αντίθετα αναπτυσσόταν τριβές μεταξύ τροχού και εμποδίου με συντελεστές τριβής μ=μs=0,6, τότε:
α) Να υπολογιστεί η δύναμη στον τροχό από το οριζόντιο επίπεδο, όταν στο  δίσκο βάζαμε σταθμά m1=2,5kg.
β) Ποια η μάζα των σταθμών που πρέπει να τοποθετηθούν στο δίσκο, ώστε ο τροχός να χάσει την επαφή του με το οριζόντιο επίπεδο;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή
Ισορροπίες και τριβές