Τρίτη, 28 Φεβρουαρίου 2017

Οι δίσκοι και η ροπή της τριβής…

Οριζόντιος ομογενής δίσκος (1) μάζας m1=1kg, και ακτίνας R=0,1m, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=10rad/s κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. Δεύτερος, ομογενής δίσκος (2) μάζας m2=0,5kg και ίδιας ακτίνας με τον πρώτο περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω2=2rad/s με φορά αντίθετη από αυτήν της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων και είναι κάθετος σε αυτούς.
Κάποια στιγμή ο δίσκος 1 αφήνεται πάνω στο δίσκο 2, οπότε λόγω τριβών οι δύο δίσκοι αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα.

συνέχεια εδώ

Δευτέρα, 27 Φεβρουαρίου 2017

Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;


Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος κέντρου Ο. Σε μια στιγμή στο δίσκο ασκούνται δυο οριζόντιες δυνάμεις όπως στο σχήμα, όπου θ=60°. Στο σχήμα δίνεται ένα σύστημα οριζόντιων ορθογωνίων αξόνων xy, όπου οι δυνάμεις έχουν τη διεύθυνση του άξονα y. Ο δίσκος θα εκτελέσει:
i)   σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με θετική φορά περιστροφής.
ii)  σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με αρνητική φορά περιστροφής.
iii) μεταφορική κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y.
iv) μεταφορική κίνηση σε  διαφορετική διεύθυνση από αυτές των δύο αξόνων.
ή
Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;


Σάββατο, 25 Φεβρουαρίου 2017

Τρία βαρέλια ισορροπούν


Τρία κυλινδρικά δοχεία ισορροπούν όπως στο σχήμα, όπου δυο εμπόδια (τάκοι…) εμποδίζουν τα κάτω να κινηθούν. Στο σχήμα βλέπετε τις τρεις βάσεις των δοχείων, όπου τα δυο κάτω έχουν ίσες ακτίνες R2=R3=1,6m, ενώ το πάνω ακτίνα R=0,4m. Η επιφάνεια του Β δοχείου είναι λεία, ενώ μεταξύ Α και Γ ο συντελεστής οριακής  στατικής τριβής έχει τιμή μs=0,8. Το δοχείο Α έχει μάζα m=160kg, ενώ g=10m/s2.
i)  Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στο πάνω δοχείο Α.
ii)  Γύρω από το Α έχουμε τυλίξει έναν αβαρή ιμάντα, μέσω του οποίου ασκούμε πάνω του  μια οριζόντια δύναμη F=40Ν. Να βρείτε την τριβή που εμφανίζεται μεταξύ των δοχείων Α και Γ.
iii) Να εξετάσετε αν μπορούμε, αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, να μηδενίσουμε τη δύναμη που ασκείται στο δοχείο Α από το Β, χωρίς να έχουμε περιστροφή.
iv) Αν η δύναμη πάρει την τιμή F3=1.000Ν, να εξετάσετε αν ο κύλινδρος θα γλιστρήσει ή όχι, αμέσως μετά.
ή
Τρία βαρέλια ισορροπούν


Τετάρτη, 22 Φεβρουαρίου 2017

Ισορροπίες και μια αντίστροφη κύλιση.

Πάνω σε μια μισοβυθισμένη στο έδαφος  σφαίρα, ακτίνας R=(3/π)m, στηρίζεται μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 6m και βάρους 300Ν, η οποία ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, όπως στο σχήμα.
i) Αν (ΑΓ)=2m, όπου Γ το σημείο της ράβδου το οποίο εφάπτεται της σφαίρας, να υπολογιστεί η δύναμη F, για την παραπάνω ισορροπία.

ii)Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης  δύναμης F, διατηρώντας την κατακόρυφη, με αποτέλεσμα το άκρο Β της ράβδου να αρχίσει να ανέρχεται, χωρίς η δοκός να γλιστράει πάνω στη σφαίρα. Με τον τρόπο αυτό, φέρνουμε τη δοκό να ισορροπεί όπως στο σχήμα, ενώ F1=100Ν.
α) Πόσο απέχει το σημείο Δ, σημείο επαφής της δοκού με τη σφαίρα, από το άκρο Α;
β) Ποια γωνία σχηματίζει η δοκός με την οριζόντια διεύθυνση;
γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής που ασκείται στη δοκό.
δ) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και σφαίρας για την παραπάνω ισορροπία;
ή
Ισορροπίες και αντίστροφη κύλιση.

Δευτέρα, 20 Φεβρουαρίου 2017

Μια οριζόντια ράβδος.


Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 4m, ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, μέτρου F=40Ν, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο σε σημείο Σ, όπου (ΑΣ)=1m, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ ράβδου και τρίποδου είναι μορ=0,5.
i)  Να βρεθεί το βάρος της ράβδου καθώς και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο;
ii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F1=50Ν, μεταβάλλοντας και την κατεύθυνσή της, ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο.
iii) Να βρεθεί η μέγιστη πλάγια δύναμη F2, την οποία μπορούμε να ασκήσουμε στη ράβδο, χωρίς αυτή να γλιστρήσει, παραμένοντας οριζόντια.
ή
Μια οριζόντια ράβδος.

Σάββατο, 18 Φεβρουαρίου 2017

Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας;


Μια ορθογώνια ομογενής πλάκα με πλευρές α=0,8m και β=0,6m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την κορυφή Α. Σε μια στιγμή η πλάκα βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Για τη θέση αυτή ζητάμε να βρεθούν οι ταχύτητες των κορυφών Β και Γ, καθώς και του κέντρου μάζας Κ της πλάκας.
Δυο μαθητές ακολουθούν διαφορετικούς δρόμους επίλυσης.
Ο μαθητής Α θεωρεί ότι η πλάκα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα.
Ο μαθητής Β θεωρεί την κίνηση σύνθετη. Μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ.
 Να εξετασθεί αν αυτές οι δύο θεωρήσεις είναι σωστές ή όχι.
ή
Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας;

Παρασκευή, 17 Φεβρουαρίου 2017

Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.


Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο, με σταθερή ταχύτητα υφ, ενώ στο σχήμα βλέπετε έναν τροχό του ακτίνας R=0,5m. Το σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος, σημείο Α, έχει μηδενική ταχύτητα, ενώ το σημείο Μ, στο μέσον της ακτίνας ΚΑ, έχει ταχύτητα μέτρου υΜ=1m/s.
i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.
ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του φορτηγού και τη συχνότητα περιστροφής των τροχών.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Μ στην θέση που δείχνει το σχήμα.
iv) Κάποια στιγμή το φορτηγό αποκτά επιτάχυνση αφ=1m/s2, χωρίς να ολισθήσουν οι τροχοί του. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου του τροχού, τη στιγμή που το φορτηγό έχει αποκτήσει ταχύτητα υφ1=3m/s. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του παραπάνω σημείου, στη θέση αυτή;
ή
Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.

Τετάρτη, 15 Φεβρουαρίου 2017

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Στην επιφάνεια μια παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ πλευράς α=0,4m. Μας δίνουν μια φωτογραφία της πλάκας και μας λένε ότι τη στιγμή της λήψης τα σημεία Α και Μ (ΑΜ=ΜΒ), έχουν παράλληλες ταχύτητες, κάθετες στην πλευρά ΑΒ με μέτρα υΑ=0,8m/s και υΜ=0,4m/s.
i) Η κίνηση της πλάκας είναι μεταφορική ή όχι και γιατί;
ii) Να υπολογίσετε της ταχύτητα του κέντρου Κ του τετραγώνου.
iii) Αν η πλάκα περιστρέφεται, να υπολογιστεί η γωνιακή της ταχύτητα.
iv) Να βρεθεί την παραπάνω στιγμή η ταχύτητα της κορυφής Β.
ή
Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Σάββατο, 11 Φεβρουαρίου 2017

Η κίνηση του δίσκου


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=6kg με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή (t=0) στο σημείο Α της περιφέρειας του, ασκούνται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η πρώτη έχει μέτρο F1=5Ν, ενώ ημθ=0,6. Ο δίσκος κινείται χωρίς να στρέφεται και τη στιγμή t1=2s το σημείο Α έχει μετατοπισθεί κατά 2m. Τη στιγμή αυτή η δύναμη F2 παύει να ασκείται στο δίσκο.
i)  Σε ποια κατεύθυνση έχει κινηθεί το κέντρο Κ του δίσκου; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.
ii) Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης F2.
iii) Να υπολογιστούν αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης F2 (τη στιγμή t1+):
 α) Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.
  β) Η επιτάχυνση του σημείου Α
  γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σημείου Α.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR2.
ή

Παρασκευή, 10 Φεβρουαρίου 2017

Πως πρέπει να σηκώσουν την πλάκα;

Ο Μήτσος, ο αδελφός του και ο ανεψιός του, θέλουν να μεταφέρουν μια μαρμάρινη πλάκα.
Η πλάκα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου και είναι ισοπαχής.
Πρέπει να τους υποδείξουμε τα σημεία των πλευρών της πλάκας που πρέπει να την πιάσουν, έτσι ώστε να «βάλουν» την ίδια δύναμη. Δύναμη όση το 1/3 του βάρους της πλάκας.

Θα χρησιμοποιήσουν το ένα τους χέρι μόνο.


Πέμπτη, 9 Φεβρουαρίου 2017

Που πρέπει να ασκηθεί η δύναμη;


Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας ομογενής τροχός ακτίνας R σε κάτοψη ο οποίος αρχικά είναι
ακίνητος και βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ο τροχός δέχεται τρεις ομοεπίπεδες δυνάμεις οι F2 και F3 ασκούνται στον οριζόντιο άξονα x για τα μέτρα των οποίων γνωρίζουμε F2=10N και F3=10N, ενώ η δύναμη F1 διατηρείται συνεχώς οριζόντια στη διεύθυνση y και η γωνία φ είναι 30ο .
i) Το μέτρο της δύναμης F1 ώστε ο τροχός να μην περιστρέφεται είναι:

α) |F1|=10N               β)|F1|=5N         γ)|F1|=20N

συνέχεια εδώ

Τετάρτη, 8 Φεβρουαρίου 2017

Πως θα κινηθεί μέσα στο υγρό;

Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος έχει μικρό πάχος. Μην ασχοληθεί κάποιος με την διαφορά των υδροστατικών πιέσεων μεταξύ δύο σημείων του που δεν βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Μέσα του υπάρχει ένα ομογενές στερεό.
Ο σωλήνας επιταχύνεται όπως στο σχήμα.

Το σώμα θα χτυπήσει το Α ή το Β;


Υπολογίσατε τις πιέσεις

Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος έχει μικρό πάχος. Μην ασχοληθεί κάποιος με την διαφορά των υδροστατικών πιέσεων μεταξύ δύο σημείων του που δεν βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

Η τάπα μέσα του έχει μάζα 1kg και δεν συναντά τριβές.


Η κεντρομόλος επιτάχυνση σημείου.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,2m, με το επίπεδό του οριζόντιο και με την επίδραση μιας οριζόντιας μεταβλητής δύναμης F, η οποία ασκείται στο σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου. Σε μια στιγμή t1, το κέντρο μάζας του δίσκου έχει ταχύτητα υcm=1m/s ενώ η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει μέτρο ω=5rαd/s με κατεύθυνση όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή το μέτρο της δύναμης είναι F=4Ν, ενώ η κατεύθυνσή της είναι ίδια με την κατεύθυνση της ταχύτητας  υcm. Για την παραπάνω χρονική στιγμή t1:
 i) Να υπολογισθούν η επιτάχυνση του κέντρου Κ, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.
ii) Θεωρώντας σύνθετη την κίνηση του δίσκου, μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ, να βρεθούν η επιτρόχια και η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α, για την κυκλική κίνησή του γύρω από το Κ.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Α, στο οποίο ασκείται η δύναμη F.
iv) Η παραπάνω θεώρηση, δεν είναι παρά ένας βολικός τρόπος μελέτης της κίνησης. Στην πραγματικότητα το σημείο Α διαγράφει μια καμπύλη τροχιά. Αφού υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α, για την καμπυλόγραμμη αυτή κίνηση, να υπολογίστε την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά αυτή (η ακτίνα αυτή ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς του σημείου Α, στην θέση αυτή).

Δευτέρα, 6 Φεβρουαρίου 2017

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΟΥ

Β1)  Στο σχήμα απεικονίζεται κυλινδρικό δοχείο που περιέχει ιδανικό υγρόπυκνότητας ρ . Στο κέντρο της πάνω βάσης είναι προσαρμοσμένος σωλήνας που επικοινωνεί με το υγρό του δοχείου, και περιέχει υγρό μέχρι τη θέση το εμβόλου μάζας m2 ,που κλείνει αεροστεγώς το υγρό στο δοχείο. Στο πάνω μέρος του εμβόλου είναι προσαρτημένο ελατήριο σταθεράς k που το πάνω άκρο του είναι δεμένο με σώμα μάζας m1. Στο κάτω άκρο του κυλιδρικού δοχείου έχουμε ανοίξει μια μικρή τρύπα, από όπου εκρέει υγρό. Το πάνω άκρο του σωλήνα επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα.Το εμβαδό διατομής του σωλήνα είναι Α1. Θέτουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση το σώμα m1με πλάτος Α, από το ανώτερο σημείο x=+A. Δεν έχουμε τριβές στο όλο σύστημα. Η ταχύτητα εκροής του υγρού σε συνάρτηση της απομάκρυνσης xδίνεται από τη σχέση

Παρασκευή, 3 Φεβρουαρίου 2017

Ο σωλήνας του Βαγγέλη...

Ο δοκιμαστικός σωλήνας του σχήματος έχει ύψος Η, μάζα m και συγκρατείται κατακόρυφα ανεστραμμένος πάνω από ένα δοχείο που περιέχει νερό. Χαμηλώνουμε τον σωλήνα πολύ αργά, με αποτέλεσμα να εγκλωβιστεί μια ποσότητα  ατμοσφαιρικού αέρα, αφήνοντάς τον  να ισορροπήσει στην κατάλληλη θέση.

i) Στην θέση που ο σωλήνας ισορροπεί, η ελεύθερη επιφάνεια του νερού μέσα στο σωλήνα σε σχέση με την ελεύθερη  επιφάνεια του νερού έξω από αυτόν βρίσκεται

            α) Στο ίδιο ύψος                      β) ψηλότερα                     γ) χαμηλότερα

συνέχεια εδώ

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός κυκλικός δίσκος, μάζας m, με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειάς του, μια δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i) Το σημείο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης:
α) μέτρου F/m με διεύθυνση ίδια με τη δύναμη.
β) μέτρου μεγαλύτερου από F/m και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση της δύναμης F.
γ) Τίποτα από τα παραπάνω.
ii) Η παραπάνω επιτάχυνση:
α) Είναι μόνο επιτρόχια (μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας)
β) Είναι μόνο κεντρομόλος (μεταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητας)
γ) Έχει μια κεντρομόλο και μια επιτρόχια συνιστώσα.
ή

Τετάρτη, 1 Φεβρουαρίου 2017

Άντληση νερού με λάστιχο


Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό, από την οποία θα αντλήσουμε νερό, με χρήση ενός λάστιχου (σωλήνα) ΑΒ, το οποίο χρησιμοποιείται όπως στο σχήμα.
i) Η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β του λάστιχου, εξαρτάται:
α) Από το ύψος Η=h1.
β) Από το ύψος Η=h1+h2.
γ) Από το ύψος Η= h1+h2+h3.
δ) Από το ύψος h3, αρκεί να έχουμε εκροή.
ii) Η πίεση στον άξονα του λάστιχου έχει ελάχιστη τιμή:
α) pmin=pατμ,  β) pmin=pατμ+ρgh2,  γ) pmin=pατμ-ρgh1, δ) pmin=pατμ-ρg(h1+h2+h3)
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και το ύψος του νερού στη δεξαμενή σταθερό.
ή

Άντληση νερού με λάστιχο