Σάββατο, 22 Ιουλίου 2017

Μια κρούση και τα έργα της δύναμης του ελατηρίου

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο πρώτο σχήμα.
Σε μια στιγμή (t=0) ένα δεύτερο σώμα Σ΄ μάζας 0,5kg κινούμενο κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, με ταχύτητα υ΄=3m/s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.
i)   Ποια χρονική στιγμή t1 θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του Σ και σε πόση απόσταση από την αρχική του θέση θα συμβεί αυτό; Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου στο παραπάνω χρονικό διάστημα.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια κρούση, αλλά τώρα το δεξιό άκρο του ελατηρίου δεν έχει δεθεί σε τοίχο, αλλά σε ένα σώμα Σ1 μάζας m, όπως στο 2ο σχήμα. Αν κάποια στιγμή t2 τα σώματα Σ και Σ1 έχουν ίσες ταχύτητες:
ii)  Ποιο το μέτρο της ταχύτητας των Σ και Σ1 τη στιγμή t2; Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου που ασκείται σε κάθε σώμα, στο χρονικό διάστημα 0-t2, όπως και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή t2. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου τη στιγμή αυτή;
iii)* Ποια χρονική στιγμή θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ; Να γίνει η γραφική παράσταση υ=υ(t) της ταχύτητας του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.
* To iii) ερώτημα δεν απευθύνεται σε μαθητές.
ή

Πέμπτη, 13 Ιουλίου 2017

Ελαστική κρούση για αρχή.

Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2, με μάζες m1 = m και m2 = 3m, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες με αλγεβρικές τιμές υ1 = 4υ και υ2 = 2υ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.
Να επιβεβαιώσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων.
α. Για τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων υ1, και υ2 των Σ1 και Σ2, μετά την κρούση, ισχύει η σχέση υ1 2= 4υ.
β. Για τις κινητικές ενέργειες των σφαιρών πριν και μετά την κρούση ισχύει η σχέση Κ2 - Κ1 = 6,5(Κ1 - Κ2).
γ. Τα μέτρα της ορμής της Σ2 πριν και μετά τη σύγκρουση συνδέονται με τη σχέση p2 = 3p2/2

Πόσες κρούσεις θα συμβούν;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στην ίδια ευθεία, ηρεμούν τρεις μικρές σφαίρες Α, Β και Γ της ίδιας ακτίνας με μάζες 2m, m και 4m αντίστοιχα. Σε μια στιγμή δίνουμε ένα στιγμιαίο κτύπημα στην μεσαία σφαίρα Β, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υο με κατεύθυνση προς τη σφαίρα Γ, όπως στο σχήμα (η σφαίρα μεταφέρεται χωρίς να περιστρέφεται). Οι κρούσεις που θα ακολουθήσουν είναι κεντρικές και ελαστικές.
i) Ο συνολικός αριθμός κρούσεων που θα ακολουθήσει είναι:
  α) μία,    β) δύο,   γ) τρεις.
ii) Μόλις ολοκληρωθούν οι κρούσεις, η απόσταση μεταξύ των σφαιρών Α και Γ θα αυξάνεται με ρυθμό:
 α) 0,6υο,    β) 0,8υο,   γ) υο.
ή

Τρίτη, 11 Ιουλίου 2017

Το τέντωμα του νήματος

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο έχει μήκος μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των σωμάτων, με αποτέλεσμα να είναι χαλαρό.
Σε μια στιγμή το σώμα Α δέχεται στιγμιαίο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υο=4m/s, όπως στο σχήμα.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα των δύο σωμάτων μετά το τέντωμα του νήματος.
ii) Η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται κατά τη διάρκεια του  τεντώματος του νήματος;
ή

Σάββατο, 8 Ιουλίου 2017

Η κίνηση σε κυλινδρική επιφάνεια

Ένα μικρό σώμα Σ1 μάζας m1= 0,1kg αφήνεται τη στιγμή t0=0 να κινηθεί στο σημείο Β, στο εσωτερικό μιας λείας κυλινδρικής επιφάνειας, κέντρου Ο και ακτίνας R=4m. Μετά από λίγο, το σώμα φτάνει στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΚΜ, με ταχύτητα υ1, όπως στο σχήμα. Το σημείο Β απέχει κατά x1=0,2m από την κατακόρυφο ΟΚ, που περνά από το κέντρο Ο της κυλινδρικής επιφάνειας.
i) Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος από τη θέση Β μέχρι να φτάσει  στο οριζόντιο επίπεδο (θέση Κ) μπορεί να θεωρηθεί απλή αρμονική ταλάντωση.
ii) Να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα υ1 του σώματος στο οριζόντιο επίπεδο.
iii) Πόσο απέχει το σώμα από το σημείο Κ τη χρονική στιγμή t1=2s;
iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αφήνοντας τώρα ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=0,2kg, σε σημείο Γ της κυλινδρικής επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά x2=0,4m από την κατακόρυφο ΟΚ. Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη των προτάσεων:
α) Το σώμα Σ2 θα χρειαστεί περισσότερο χρόνο (από το Σ1) για να φτάσει στο σημείο Κ.
β) Για την τελική ταχύτητα του Σ2 ισχύει υ2=2υ1.
Δίνεται π2≈10 και g=10m/s2.
ή

Τετάρτη, 5 Ιουλίου 2017

Η θέση και η απομάκρυνση σε μια ΑΑΤ.

Ένα σώμα μάζας m=0,1kg κινείται κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x, εκτελώντας ΑΑΤ, ενώ η επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με τη θέση του, δίνεται στο διπλανό διάγραμμα.
i) Γύρω από ποια θέση ταλαντώνεται το σώμα και με ποιο πλάτος;
ii) Να βρεθούν οι εξισώσεις:
 α) της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και
 β) της θέσης του σώματος
σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις, αν το σώμα τη στιγμή t0=0 βρίσκεται στη θέση x0=0,4m.
iii) Να παρασταθεί επίσης γραφικά η δυναμική ενέργεια του σώματος, σε συνάρτηση:
α) με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας
β) με την θέση του σώματος.
Δίνεται π2≈10.
ή 

Δευτέρα, 3 Ιουλίου 2017

Άντε στην υγειά μας μόνο μη μας χυθεί το κρασί

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ=2kg  και μήκους L=4m στηρίζεται σε δύο στηρίγματα που απέχουν d=1m από το κάθε άκρο της. Στα άκρα της έχουν ενσωματωθεί δύο αβαρή ποτήρια με πολύ μικρή βάση όπως φαίνεται στο σχήμα.
i. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο από το κάθε στήριγμα.

Κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0 τα ποτήρια αρχίζουν να γεμίζουν με κρασί πυκνότητας  ρ=103kg/m3 με παροχές Π1=4·10-4m3/s και Π2=10-4m3/s αντίστοιχα. Το κρασί χύνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να θεωρούμε ότι ισορροπεί απευθείας στα ποτήρια και να μην αναπηδά.
ii. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το κάθε ποτήρι στη ράβδο κάθε στιγμή καθώς τα ποτήρια γεμίζουν με κρασί.
iii. Να βρείτε ποια στιγμή θα ανατραπεί η ράβδος και να γίνουν τα διαγράμματα των δυνάμεων που δέχεται η ράβδος απο τα στηρίγματα συναρτήσει του χρόνου μέχρι να ανατραπεί η ράβδος.   
iv. Aν Π12  υπολογίστε τον μέγιστο λόγο Π12  ώστε να μην μπορεί να ανατραπεί η ράβδος και χυθεί το κρασί.

Δίνεται g=10m/s2



Σάββατο, 1 Ιουλίου 2017

Το διάγραμμα μας δείχνει την κρούση.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε την εξέλιξη της ταλάντωσης ενός σώματος Σ1 μάζας m1 = 1 kg σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Κάποια στιγμή συγκρούεται κεντρικά με σώμα Σ2, μάζας m2.
α. το μέτρο της ορμή του Σ1, ελάχιστα πριν την κρούση με το Σ2.
β. την μεταβολή της ορμής του Σ2 κατά την διάρκεια της κρούσης.
γ. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων
δ. Αν τα δύο σώματα ξεκίνησαν ταυτόχρονα την κίνηση τους και το Σ2 επιταχύνθηκε από σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 50/π Ν για όσο χρειάστηκε. Να βρεθεί η αρχική απόσταση των δύο σωμάτων.
Δίνεται π/6 = 0,52, σε κάθε ταλάντωση ισχύει D = k.


Πέμπτη, 15 Ιουνίου 2017

Ο κόφτης έφτασε.

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει ακτίνα r = 0,1 m και πάνω του έχει προσαρμοσμένα 4 πτερύγια ακτίνας R = 0,2 m. Η ροπή αδράνειας του στερεού είναι Ι = 0,2 kg·m2 (μαζί με τα πτερύγια). Τα πτερύγια δημιουργούν συνολική ροπή που αντιτίθεται στην κίνηση, μέτρου τ = 0,4υ (S.I.) όπου υ το μέτρο της ταχύτητας των πτερυγίων. Το σύστημα αποτελείται από μια τροχαλία μάζας Μ2 = 2 kg και ακτίνας R2 = 0,2 m και ένα σώμα μάζας m2 = 4 kg. 
Α. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί οπότε αρχικά επιταχύνεται ώσπου να αποκτήσει σταθερή ταχύτητα και στην συνέχεια κινείται ομαλά. Να βρείτε:  
α. την αρχική επιτάχυνση (t0 = 0) της μάζας m2
β. την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου όταν το σώμα μάζας m2 αποκτά σταθερή ταχύτητα.
Β. Το σώμα μάζας m2 καθώς κατεβαίνει και αφού έχει προλάβει να αποκτήσει σταθερή ταχύτητα, συναντά οριζόντια ράβδο μήκους d = 2 m και μάζας Μ1 = 3,75 kg που ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη στο σημείο Κ έχοντας στο άκρο της Α σημειακή μάζα m1 = 2,5 kg όπως στο σχήμα. Το σώμα μάζας m συγκρούεται με τη ράβδο στο σημείο Λ συσσωματώνεται και αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω = 3 rad/s. Το σημείο στήριξης της ράβδου απέχει από το έδαφος απόσταση ΚΠ = y = 0,462 m. Να βρείτε:

Τρίτη, 13 Ιουνίου 2017

Όταν ο κόφτης κάνει λάθος

Το θέμα είναι παραλλαγή του Δ θέματος των χθεσινών εξετάσεων. Είναι μια ιδέα του Διονύση Μητρόπουλου, την οποία είχα χαρακτηρίσει «εξτρεμισμό». Είναι εξτρεμιστικό θέμα; Για την ΚΕΕ ίσως και να είναι…
Έχουν παραληφθεί τα υπόλοιπα ερωτήματα και συνεχίζουμε μετά το κόψιμο του νήματος, για την τάση του νήματος.

Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΓ σταθερής διατομής έχει μάζα Μ=4Kg. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος ΓΔ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ. Γύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου Κ, μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο Γ της ράβδου ΑΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t0=0 ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει ταχύτητα υ1=2m/s, πάμε να κόψουμε το  νήμα που συνδέει το δίσκο με τη ράβδο, αλλά κάνουμε λάθος και κόβουμε το άλλο νήμα ΓΔ.
Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος ΑΓ στο άκρο της Γ από το νήμα, όταν ο δίσκος κατέρχεται.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
ή

Δευτέρα, 12 Ιουνίου 2017

Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων στη Φυσική 2017


Β2. Ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα περιέχει νερό μέχρι ύψους Η. Από τον πυθμένα του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου εξέρχεται λεπτός κυλινδρικός σωλήνας σταθερής διατομής. Ο σωλήνας είναι αρχικά οριζόντιος και στη συνέχεια κάμπτεται, ώστε να γίνει κατακόρυφος προς τα πάνω. Το άνοιγμα του σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h=Η/ 5 πάνω από το επίπεδο του πυθμένα του δοχείου, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.


Δείτε τα θέματα από εδώ.



Κυριακή, 4 Ιουνίου 2017

Μας έπεσε ο ουρανός στο κεφάλι.

Ένα σώμα Σ1, μάζας m1 = 4 kg, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και  είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το ελατήριο έχει αρχικά το φυσικό του μήκος. Ασκώντας δύναμη, μετατοπίζουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται, και τη χρονική στιγ­μή t0 = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα, με το ελατήριο να είναι παραμορφω­μένο από το φυσικό μήκος του κατά d = 0,6 m. Σε μια επόμενη χρονική στιγμή, κατά την οποία το σώμα Σ1 διέρχεται από μια θέση όπου το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά x1 = 0,2 m, ένα δεύτερο σώμα Σ2, που έχει αφεθεί από ύψος h = 0,8 m, μάζας m2 = 20/3 kg, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ1, χωρίς το συσσωμάτωμα να αναπηδήσει. Να βρείτε:

α. τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων λίγο πριν την κρούση τους

β. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που χάθηκε κατά την κρούση

γ. ποιο σώμα αφέθηκε πρώτο να κινηθεί

δ. σε πόση απόσταση από τη θέση όπου αφέθηκε ελεύθερο το σώμα Σ1 θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητα του συσσωματώματος για πρώτη φορά.

Σάββατο, 3 Ιουνίου 2017

Εξετάσεις Φυσικής Κύπρου 2017


Τρεις αβαρείς ράβδοι είναι ελεύθερες να περιστρέφονται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονες που περνούν από το αριστερό τους άκρο και είναι κάθετοι στο οριζόντιο επίπεδο. Σε κάθε ράβδο στερεώνονται σφαίρες διαφορετικών μαζών, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συνολική μάζα κάθε συστήματος ράβδου – σφαιρών (Α, Β και Γ) είναι η ίδια (3m).
Δείτε τα θέματα και τις λύσεις τους.
Εναλλακτικά:  Θέματα και λύσεις.

Τετάρτη, 31 Μαΐου 2017

Κυλώντας μειώνεται ο δρόμος του ταξιδιού.

Σε ένα κύλινδρο μάζας Μ και ακτίνας R , ασκούμε μεσω κατάλληλου μηχανισμού μία σταθερή δύναμη F στο κέντρο μάζας του. Ο κύλινδρος βρίσκεται αρχικά στο σημείο Α πάνω σε τραχύ έδαφος όπου στα μέσα της διαδρομής (σημείο Β) γίνεται τελείως λείο. Η τριβή είναι αρκετή ώστε να αρχίσει (με την άσκηση της δύναμης F) κύλιση χωρίς ολίσθηση. Στο τέλος της διαδρομής (σημείο Γ) έχει αποκτήσει ολική κινητική ενέργεια Κ1. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία από το σημείο Γ (με υΓ = 0) προς το Α, ασκώντας την ίδια οριζόντια δύναμη F στο κέντρο του κυλίνδρου αλλά με κατεύθυνση προς το σημείο Α. Στο τέλος της διαδρομής (σημείο Α) η ολική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου είναι Κ2. Για τις κινητικές ενέργειες στι δύο περιπτώσεις ισχύει:
α. Κ1 > Κ2                     β. Κ1 = Κ2                     γ. Κ1 < Κ2
Να επιλέξετε την σωστή και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
   

Τρίτη, 30 Μαΐου 2017

Το υλικό σημείο και η δοκός

Μια ομογενής δοκός μάζας m και μήκους l μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο της Α προσδένεται ένα σώμα Σ της ίδιας μάζας m, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο. Το στερεό που δημιουργείται φέρεται σε θέση, που η ράβδος είναι οριζόντια και αφήνεται να κινηθεί.
i) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ έχει μέτρο μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο από g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας;
ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το σώμα Σ κρέμεται μέσω νήματος μήκους l/2 από το άκρο Α της δοκού. Η αντίστοιχη αρχική επιτάχυνση του Σ θα είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από g;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η  ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=ml2/3.

Μηχανική στερεού σώματος -3 ερωτήσεις δικαιολόγησης

Στρεφόμενοι δίσκοι & περί στροφορμής

Σύστημα σταθερής και ελεύθερης τροχαλίας

Κυριακή, 28 Μαΐου 2017

Ανελκυστήρας

Ανελκυστήρας αποτελείται από το θάλαμο μάζας Μθ=500kg , αντίβαρο μάζας ΜΑ=400kg  , τύμπανο μάζας ΜΤ=100kg  ακτίνας R=1m και ροπής αδράνειας Ιcm=1/2 ΜτR2,  που συνδέεται, μέσω άξονα κάθετο στο επίπεδό του και στο κέντρο του, με ηλεκτρικό κινητήρα .  Ο θάλαμος και το αντίβαρο συνδέονται μέσω συρματόσχοινου, αμελητέας μάζας, που είναι περασμένο σε αύλακα στην περιφέρεια του τυμπάνου και δεν ολισθαίνει. Ο θάλαμος είναι στο ισόγειο και εισέρχονται άνθρωποι συνολικής μάζας ΜΕ= 500kg και ο ανελκυστήρας ξεκινά επιταχυνόμενος προς τα πάνω. Για τα πρώτα δευτερόλεπτα επιταχύνεται ομαλά μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα 2m/s , κατόπιν κινείται με αυτή την ταχύτητα για 10s  και τέλος επιβραδύνεται ομαλά λόγω βαρύτητας και σταματά.

Σάββατο, 27 Μαΐου 2017

Η κίνηση του κυλίνδρου εξαιτίας κατακόρυφης δύναμης

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας κύλινδρος, βάρους w, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο σχήμα, με μέτρο F<w.
i) Αν το επίπεδο είναι λείο, να περιγράψετε την κίνηση του κυλίνδρου.
ii) Αν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου, τότε:
α) Ο κύλινδρος θα μετακινηθεί προς τα αριστερά ενώ θα στρέφεται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
β) Ο κύλινδρος θα μετακινηθεί προς τα δεξιά ενώ θα στρέφεται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
γ) Ο κύλινδρος θα μετακινηθεί προς τα αριστερά ενώ θα στρέφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
δ) Ο κύλινδρος θα μετακινηθεί προς τα δεξιά ενώ θα στρέφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
ή

Πέμπτη, 25 Μαΐου 2017

Η ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ - ΤΟ ΚΥΚΛΟΕΙΔΕΣ & Η Α.Τ

Οµογενής και συµπαγής τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ακίνητο οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα υcm. 
α. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει το σηµείο επαφής Α του τροχού µε το επίπεδο κύλισης και ένα τυχαίο σηµείο Σ της περιφέρειας του κυλιόµενου τροχού (και όχι µόνο της περιφέρειας) είναι κάθετη στην ολική ταχύτητα αυτού του σηµείου.
 β. Να υπολογίσετε την έκφραση του µέτρου της ολικής ταχύτητας του σηµείου Α της περιφέρειας του τροχού που τη χρονική στιγµή t=0 βρίσκεται σε επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο κύλισης σε συνάρτηση µε το χρόνο.

γ. Να υπολογίσετε το µήκος της κυκλοειδούς τροχιάς που διαγράφει το σηµείο επαφής του τροχού Α µε το επίπεδο κύλισης σε χρόνο µιας περιόδου. 

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Τετάρτη, 24 Μαΐου 2017

Μια διέγερση σε ταλάντωση.

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t0=0 ασκείται στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη Fεξ με αποτέλεσμα να αρχίσει να κινείται προς τα δεξιά. Στη διάρκεια της κίνησής του, ασκείται στο σώμα δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-bυ.
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας.
i) Το σώμα θα εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα ταλάντωσης, την ιδιοσυχνότητά του.
ii) Η ταλάντωση του σώματος θα είναι φθίνουσα με συχνότητα μικρότερη από την ιδιοσυχνότητά του.
iii) Το σώμα τελικά θα ισορροπήσει στην αρχική του θέση.
ή


Η Ιθάκη … αχνοφαίνεται ακόμη.

Στο διπλανό σχήμα τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές k1 και k2 = 2k1. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί με το κάθε ελατήριο να είναι παραμορφωμένο κατά Δℓ1 και Δℓ2 αντίστοιχα. Στην Θ.Ι. το ελατήριο σταθεράς k2 έχει διπλάσια δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης από το ελατήριο σταθεράς k1. Ανασηκώνουμε το σώμα Σ μάζας m μέχρι τη θέση όπου το ελατήριο σταθεράς k2 δεν ασκεί καμιά δύναμη στο σώμα Σ. Από την θέση αυτή αφήνουμε το σώμα να εκτελέσει ταλάντωση σταθεράς D = k1 + k2. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης τις στιγμές που το ελατήριο σταθεράς k1 δεν έχει αποθηκευμένη ενέργεια, είναι:

   

Δευτέρα, 22 Μαΐου 2017

Ένα σύστημα και η στροφορμή του

Στο σχήμα, τα σώματα Α και Β, με μάζες m1 και m2 κινούνται προς τα κάτω περιστρέφοντας την τροχαλία, μάζας Μ και ακτίνας R, η οποία στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό της, που περνά από το κέντρο της Ο.
i) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, ως προς τον άξονα  περιστροφής της τροχαλίας είναι:
α) dL/dt=Ιτρ∙αγων,   β) dL/dt=Τ∙R,   γ) dL/dt=(m1+m2)g∙R,  δ) dL/dt=(Μ+m1+m2)g∙R
ii) Κάποια στιγμή κόβεται το νήμα που συνδέει τα σώματα Α και Β. Μετά από αυτό, το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, ως προς τον άξονα  περιστροφής της τροχαλίας είναι:
α) dL/dt=Ιτρ∙αγων,   β) dL/dt=(Μ+m1)g∙R,   γ) dL/dt=(m1+m2)g∙R,  δ) dL/dt=(Μ+m1+m2)g∙R
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας

ή


Κυριακή, 21 Μαΐου 2017

Τι ελεύθερη πτώση, τι ταλάντωση.


Ένα σώμα Σ1 είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k.  Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι κάποια θέση και την χρονική στιγμή t0 = 0 αφήνουμε το σώμα να εκτελέσει Α.Α.Τ. (σταθεράς D = k). Από την ίδια θέση που αφήσαμε το Σ1 αφήνουμε ένα άλλο σώμα Σ2. Όταν το σώμα Σ2 περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έχει ταχύτητα ίση με αυτή που έχει το Σ1 στη θέση αυτή.
Α. Η αρχική απομάκρυνση d των σωμάτων από την Θ.Ι. της ταλάντωσης του Σ1, σε σχέση με την αρχική παραμόρφωση Δℓ0 του ελατηρίου, είναι:

   

Σάββατο, 20 Μαΐου 2017

Κύλιση πέρα-δώθε

Δακτύλιος μάζας Μ και ακτίνας R έχει συγκολλημένη στο εσωτερικό της περιφέρειάς της σημειακή μάζα m=Μ στο σημείο Α, έτσι ώστε η ΚΑ να είναι οριζόντια. Σε αυτή τη θέση ισορροπούμε το σύστημα εφαρμόζοντας μια οριζόντια δύναμη F στο ανώτερο σημείο του δακτυλίου.