Κυριακή, 30 Οκτωβρίου 2016

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.


Ένα σώμα μάζας  2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=25Ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F,με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης
x=0,4∙ημ(πt) (μονάδες στο S.Ι.)
γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το  σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ= - 4υ  (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος.
i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος.
ii) Για την χρονική στιγμή t1=1s ζητούνται:
α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.
β)   Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.
iii) Για τη χρονική στιγμή t2=13/6 s να υπολογιστούν:
α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.
β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.
γ)  Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.
ή

Σάββατο, 29 Οκτωβρίου 2016

Κρυμμένες αλήθειες!


Σώμα Σ1 μάζας m1 = 1 kg εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t = 0 με με ταχύτητα μέτρου υο από το σημείο Α του λείου οριζοντίου επιπέδου του σχήματος. Το σώμα Σ1 αφού διανύσει απόσταση d = 2,4π m, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2 το οποίο είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Στο διπλανό διάγραμμα απεικονίζεται η θέση του
σώματος Σ2 σε συνάρτηση με το χρόνο.

α. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας υο εκτόξευσης του σώματος Σ1.

β. Πόση είναι η μάζα m2 του σώματος Σ2;

γ. Πόση είναι η σταθερά k του ελατηρίου;

δ. Να γράψετε τη σχέση της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος σε σχέση με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και να την παραστήσετε γραφικά.

Θεωρήστε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης. Επίσης δίνεται ως θετική φορά η φορά κίνηση του σώματος Σ1 πριν την κρούση.

Η εκφώνηση και η λύση της άσκησης ΕΔΩ

Τρίτη, 18 Οκτωβρίου 2016

Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.

Δυο σώματα Σ1 και Σ2, ίδιας μάζας m=2kg, συγκρατιόνται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο απέχοντας κατά D=1,5m από την κορυφή του Ο. Το Σ1 είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m με φυσικό μήκος l0=1,2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε στήριγμα στη βάση του επιπέδου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t0=0) αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να κινηθούν.
i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σώματος.
ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή t1 που αποκτούν ίσες επιταχύνσεις για πρώτη φορά.
iii) Πόσο απέχει κάθε σώμα από την κορυφή Ο του επιπέδου τη στιγμή t2 που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος Σ1;
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2, στο ίδιο διάγραμμα.
Το κεκλιμένο επίπεδο έχει κλίση θ, με ημθ=0,3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και π2≈10.
ή

Πέμπτη, 6 Οκτωβρίου 2016

Από ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη σε απλή αρμονική ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας m=1kg είναι συνδεδεμένο στην άκρη ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m και ισορροπεί στη Θέση Ισορροπίας του. Την στιγμή t=0 ασκούμε στο σώμα κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω που δίνεται από τη σχέση 15+100y, (S.I.), όπου y η απόσταση από τη θέση ισορροπίας του σώματος.  Η δύναμη ασκείται για χρονικό διάστημα t=3^0,5 /15s και κατόπιν καταργείται. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα μετά την κατάργηση της δύναμης.

Τρίτη, 4 Οκτωβρίου 2016

Ο ταλαντωτής του Γιάννη … με λίγο Βαγγέλη.

Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k = 200 Ν/m. Η μάζα του σώματος είναι m = 2 kg και ο συντελεστής τριβής είναι μ = 0,5. Απομακρύνουμε το σώμα από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκυνθεί κατά Δℓ0 = 0,27 m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί.
Α. Να δείξετε ότι η κίνηση είναι τμηματικά αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της.
Β. Να βρείτε:
α. Σε ποια θέση θα σταματήσει για πρώτη φορά και σε πόσο χρόνο (θεωρούμε ως x = 0 την Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου)
β. την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν το σώμα θα σταματήσει οριστικά και τον συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος.
γ. την σχέση που δίνει το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε φορά που το σώμα περνά από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.
Δίνεται g = 10 m/s2. Να θεωρήσετε ότι ο συντελεστής οριακής τριβής είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης.
   

Κυριακή, 2 Οκτωβρίου 2016

Μου είσαι αδιάφορη … αλλά όχι για όλα!

Σώμα μάζας m και βάρους w ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 στο σώμα ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F προς τα πάνω μέτρου ίσου με το βάρος του σώματος και η οποία δεν καταργείται. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α1 με σταθερά επαναφοράς D = k. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με Uελ,max1.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία αντιστρέφοντας μόνο την κατεύθυνση της δύναμης F, οπότε το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α2. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με Uελ,max2.

Α. Ο λόγος A1/A2 είναι ίσος με:
α. 1            β. 2               γ. ½

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Β. Ο λόγος Uελ,max1/ Uελ,max2 είναι ίσος με:
α. 1            β. 1/9               γ. ½
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Η εκφώνηση και η λύση ΕΔΩ