Τετάρτη, 30 Δεκεμβρίου 2015

Από ένα υλικό σημείο, σε ένα σωμάτιο ρευστού.

Α) Ένα σώμα, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας 0,2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τη στιγμή που περνά από μια θέση Α με ταχύτητα υ1=1m/s, δέχεται δύο δυνάμεις μέτρων F1=4Ν και F2=3Ν, όπως στο σχήμα, με την βοήθεια των οποίων, φτάνει σε σημείο Β, ενός δεύτερου οριζοντίου επιπέδου, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=0,5m, αφού περάσει από ένα κεκλιμένο επίπεδο. Σε όλη τη διαδρομή οι δυο δυνάμεις έχουν την διεύθυνση της ταχύτητας (η πρώτη με την ίδια φορά και η δεύτερη αντίθετη φορά από την ταχύτητα). Στην παραπάνω κίνηση δεν εμφανίζονται τριβές, ενώ το σώμα διανύει συνολικά διάστημα s=1,3m, από τη θέση Α, στη θέση Β.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ2 του σώματος στη θέση Β.
ii) Αν στη διάρκεια της παραπάνω μετακίνησης ασκείτο στο σώμα και δύναμη τριβής, για να εξασφαλίσουμε την ίδια ταχύτητα υ2, θα χρειαστεί να αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης F1 στην τιμή F1΄=5Ν. Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την μετακίνηση του σώματος από το Α στο Β.
Β) Σε ένα δίκτυο ύδρευσης, σε σημείο Α ενός οριζόντιου σωλήνα διατομής Α1=3cm2, έχουμε ροή νερού με ταχύτητα υ1=1m/s, ενώ η πίεση είναι ίση με p1=106.500Ρa . Ο σωλήνας εμφανίζει μια ανοδική πορεία καταλήγοντας σε άλλο οριζόντιο σωλήνα, διατομής Α2. Σε σημείο Β του σωλήνα αυτού, η πίεση είναι p2=105Ρa, ενώ η κατακόρυφη απόσταση των σημείων Α και Β είναι h=0,5m.
iii) Αν το νερό θεωρηθεί ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, να βρεθεί η διατομή του σωλήνα στο σημείο Β.
iv) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει πάνω σε ένα σωμάτιο ρευστού όγκου V1=20cm3, το υπόλοιπο νερό, κατά τη μετάβασή του από το σημείο Α στο σημείο Β.
v) Το νερό βέβαια δεν είναι ιδανικό ρευστό, με αποτέλεσμα για να έχουμε την ίδια σταθερή παροχή, πρέπει να αυξήσουμε την πίεση στο σημείο Α στην τιμή pΑ=1,2∙105Ρa. Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την μετακίνηση του παραπάνω σωματίου ρευστού από το Α στο Β, εξαιτίας της τριβής.
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή




Σάββατο, 26 Δεκεμβρίου 2015

Διαγώνισμα κρούσεις- Ταλαντώσεις.

ΘΕΜΑ Δ: Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ισορροπεί σώμα Σ1 μάζας m1=3kg  , δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m , το άλλο άκρο του οποίου είναι προσδεμένο σε ακλόνητο σημείο. Πάνω στο σώμα Σ1 τοποθετούμε σώμα Σ2 μάζας m2=1 kg  , με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής  μ=0,8.  Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα δεξιά(θετική φορά)  κατά Α=0,3m , και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Δίνεται g=10 m/s2
Δ1) Να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης  καθώς και την ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος 
Δ2)  Να δείξετε ότι το σώμα Σ2 δεν ολισθαίνει πάνω στο σώμα Σ1 .
Δ3) Να βρείτε την έκφραση της στατικής τριβής Τστ. στο σώμα Σ2 σε συνάρτηση του χρόνου t και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Τστ.=f(t)  σε βαθμολογημένους άξονες.
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, εκτρέποντας το σύστημα κατά Α΄=0,4m, από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.  Παρατηρούμε τότε ότι το σώμα Σ2 ολισθαίνει για κάποιο χρονικό διάστημα πάνω στο σώμα Σ1 , και κάποια στιγμή , σταθεροποιείται η θέση του πάνω στο Σ1, με αποτέλεσμα το σύστημα να κάνει Α.Α.Τ. σταθερού πλάτους Α΄΄και σταθερής περιόδου.   Θεωρείστε ότι όταν σταματάει η ολίσθηση, το πλάτος της ταλάντωσης είναι το επιτρεπτό τελικό για μη ολίσθηση.                     
Δ4) Υπολογίστε το τελικό πλάτος  της ταλάντωσης του συστήματος.
Δ5(προαιρετικό): Πόσο διάστημα ολίσθησε συνολικά το Σ2 πάνω στο Σ1, μέχρι να σταθεροποιηθεί η θέση του πάνω σε αυτό, και το οποίο αντιστοιχεί  στην απώλεια ενέργειας του συστήματος λόγω της τριβής ολίσθησης.         
Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μολ. =0,75.
Δείτε όλο το διαγώνισμα σε  Word   ή σε  pdf.

Δευτέρα, 21 Δεκεμβρίου 2015

Προσθέτοντας νερό στο σωλήνα.

Ο σωλήνας  του διπλανού σχήματος έχει ανοικτό το σκέλος Α και κλειστό το σκέλος του Β και περιέχει νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3. Η κατακόρυφη απόσταση των ελεύθερων επιφανειών στα δύο σκέλη είναι ίση με h=2m.
Να εξετάσετε αν στο σκέλος Β, πάνω από την επιφάνεια του νερού, περιέχεται αέρας ή όχι, Δίνεται pαtm=105Ν/m2 και g=10m/s2.
ή





Παρασκευή, 18 Δεκεμβρίου 2015

Οι πιέσεις σε ένα σωλήνα U.

Ο σωλήνας  του διπλανού σχήματος έχει ανοικτό το σκέλος Α και κλειστό το σκέλος του Β και περιέχει νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3. Η κατακόρυφη απόσταση των ελεύθερων επιφανειών στα δύο σκέλη είναι ίση με h=2m.
Να εξετάσετε αν στο σκέλος Β, πάνω από την επιφάνεια του νερού, περιέχεται αέρας ή όχι, Δίνεται pαtm=105Ν/m2 και g=10m/s2.
ή






Τετάρτη, 16 Δεκεμβρίου 2015

Ανοίγει πόρτα - κλείνει πόρτα.

Έχουμε παρατηρήσει πολλές φορές ότι βγαίνοντας από το σπίτι ανοίγοντας την εξώπορτα προς τα μέσα αμέσως κλείνει η μισάνοιχτη πόρτα του σαλονιού. Γιατί συμβαίνει αυτό;

Τρίτη, 15 Δεκεμβρίου 2015

Υγρό σε ισορροπία.

Ο σωλήνας του σχήματος, με ισοπαχή σκέλη εμβαδού Α=4cm2, περιέχει νερό, ενώ στο αριστερό σκέλος του ισορροπεί ένα έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το ύψος του νερού στα δυο σκέλη, είναι h1=20cm και h2=40cm. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1g/cm3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι pα=105Ν/m2.
i)  Να υπολογίσετε την πίεση σε κάποιο σημείο, στη βάση του σωλήνα, καθώς και την δύναμη που ασκεί το νερό σε ένα τμήμα της βάσης (με κόκκινο χρώμα στο σχήμα) εμβαδού Α1=5cm2.
ii) Να υπολογιστεί η πίεση στην κάτω επιφάνεια  του εμβόλου.
iii) Να υπολογιστεί το βάρος του εμβόλου.
iv) Ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη F, στο έμβολο και το φέρνουμε να ισορροπεί 10cm χαμηλότερα από την προηγούμενη θέση ισορροπίας  του. Να υπολογιστεί η τελική  τιμή της ασκούμενης δύναμης F.
ή





Κυριακή, 13 Δεκεμβρίου 2015

Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας.

Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους =0,1cm. Μια πλάκα μάζας m1=0,5kg και εμβαδού Α=0,2m2, ηρεμεί πάνω στην γλυκερίνη. Δένουμε την πλάκα με αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήμα, στο άλλο του άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ, μάζας m2= 0,5kg, το οποίο κάποια στιγμή (t=0) αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.
ii)  Αν μετά από λίγο, το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ=10cm/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του μηχανέλαιου.
iii) Ποια η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγμή που έχει ταχύτητα υ1=4cm/s, θεωρώντας ότι κάθε στιγμή ισχύει η γνωστή εξίσωση για την τριβή που ασκείται στην πλάκα από το μηχανέλαιο.
Δίνεται g=10m/s2.
ή






Πέμπτη, 10 Δεκεμβρίου 2015

Ένα στάσιμο κύμα ανάμεσα σε δυο σταθερά σημεία.

Μεταξύ  δύο σταθερών σημείων Τ1 και Τ2 βρίσκεται ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, μήκους l=3m, στο οποίο έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου απέχει κατά 1,3m από το δεξιό άκρο Τ2 και το λαμβάνουμε ως αρχή ενός συστήματος αξόνων (x,y). Με βάση αυτό το  σύστημα αξόνων,  το στάσιμο κύμα μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της μορφής:
y=2 Α∙συν(2πx/λ+φ0)∙ημ(2πt/Τ+θ0)  (1)
όπου τη στιγμή t=0, το σημείο Ο βρίσκεται  σε απομάκρυνση y=-0,1m με μηδενική ταχύτητα. Εξάλλου σε χρονικό διάστημα Δt=0,4s το Ο  εκτελεί δυο πλήρης ταλαντώσεις, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά μια κοιλία του μέσου έχει μέτρο υmax=2π m/s.
i)  Να βρεθεί η συχνότητα και το πλάτος ταλάντωσης μιας κοιλίας του μέσου.
ii) Ποιες οι δυνατές τιμές της γωνίας φ0  που περιλαμβάνεται στην παραπάνω εξίσωση;.
iii) Αν φ0=π/3 rad να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος κατά μήκος του μέσου αυτού, αν μεταξύ του σημείου Ο και του σημείου πρόσδεσης Τ2 υπάρχουν δύο σημεία του μέσου που παραμένουν ακίνητα.
iv) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος.
v)  Να παρασταθούν στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t1=0 και t2=0,125 s, στο ίδιο σύστημα αξόνων.
ή







Τετάρτη, 9 Δεκεμβρίου 2015

Μηχανικά Κύματα (Θεωρία)

Μιά αποτύπωση των βασικών σημείων της θεωρίας των μηχανικών κυμάτων που περιέχονται στην ύλη της 3ης λυκείου μπορείτε να διαβάσετε απο εδώ ή να κατεβάσετε από εδώ.

Η ανάρτηση αφιερώνεται στο φίλο και συνεργάτη Γιώργο Παπαδημητρίου
που επιτέλους γνώρισα απο κοντά.

Τρίτη, 8 Δεκεμβρίου 2015

177. Εξίσωση Torricelli.





Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο εμβαδού Α1 περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Το δοχείο φράσσεται υδατοστεγώς με έμβολο αμελητέας μάζας που μπορεί να κινείται κατακόρυφα χωρίς τριβές. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε απόσταση Η κάτω από την ελεύθερη οριζόντια επιφάνειά του βρίσκεται στόμιο εμβαδού Α2 από το οποίο εκρέει το υγρό. Αν ασκήσουμε στο έμβολο κατακόρυφη δύναμη F τότε το υγρό εκρέει με ταχύτητα υ2, όταν η στάθμη του υγρού απέχει απόσταση h από το στόμιο εκροής.
Να υπολογίσετε:
α) Την ταχύτητα εκροής υ2 του υγρού
β) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής του ύψους της στάθμης του νερού και
γ) το χρόνο για να κατέβει η στάθμη του υγρού κατά H.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

Συνοπτικήλύση:

Δευτέρα, 7 Δεκεμβρίου 2015

Επιφανειακή συμβολή με διαφορετικά πλάτη.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π1 και Π2, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:
y1=0,1∙ημ(4πt) και y2=0,2∙ημ(4πt)  μονάδες στο S.Ι.
Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη. Ένα σημείο Ο της επιφάνειας, απέχει αποστάσεις r1=6m και r2=4m αντίστοιχα από τις δύο πηγές. Το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή 10/3s.
i)  Να υπολογιστεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.
ii)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων που θα υποχρεωθεί να εκτελέσει το σημείο Ο, λόγω συμβολής των κυμάτων.
iii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο μετά την συμβολή των δύο κυμάτων;
iv)  Να υπολογιστεί ο λόγος Κ12, όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας μάζας m στο σημείο Ο και Κ2 η μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια, που μπορεί να έχει η ίδια μάζα, σε κάποιο άλλο σημείο της επιφάνειας του υγρού.
ή






Κυριακή, 6 Δεκεμβρίου 2015

Επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός υγρού ηρεμούν δύο πηγές Π1 και Π2, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου οι πηγές βρίσκονται σε σημεία δύο κάθετων μεταξύ τους αξόνων x και z, ενώ η πηγή Π1 απέχει κατά d1=1,5m από την αρχή Ο των αξόνων. Σε μια στιγμή t=0, οι δύο πηγές τίθενται ταυτόχρονα σε ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξισώσεις y=0,2∙ημ2πt (S.Ι.). Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού και  δεχόμαστε ότι έχουν σταθερό πλάτος. Τη στιγμή t1=3s το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, ενώ το δεύτερο στο σημείο Σ, όπου (ΟΣ)=2m.
i) Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος καθώς και η απόσταση (ΟΠ2) της δεύτερης πηγής από την αρχή Ο των αξόνων.
ii) Να βρεθούν οι απομακρύνσεις και οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Σ και Ο τη στιγμή t3=4s.
iii) Πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σημείο Ο, μέχρι να φτάσει και το δεύτερο κύμα; Να βρεθεί η εξίσωση ταλάντωσης του Ο μετά τη συμβολή.
iv) Να υπολογιστεί ο λόγος Κ12 όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας m στο σημείο Ο, πριν την συμβολή και Κ2 η αντίστοιχη μέγιστη κινητική ενέργεια, μετά τη συμβολή.
v) Πόσα σημεία μεταξύ Σ και Ο, πάνω στον άξονα x, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;
ή