Δευτέρα, 31 Αυγούστου 2015

Μια μόνιμη ροή και οι πιέσεις.

Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή νερού (το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό) εντός ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής Α=40cm2. Η παροχή του σωλήνα είναι ίση με 8L/s. Στη θέση Α έχει συνδεθεί ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας, στον οποίο το νερό ανέρχεται κατά h1=2m.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στα σημεία Α και Β, καθώς και οι αντίστοιχες πιέσεις.
Παρεμβάλλουμε έναν δεύτερο σωλήνα στη θέση Β, όπως στο διπλανό σχήμα. Αν η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή και μόνιμη, με την ίδια παροχή:
ii) Πόση θα είναι η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β και ποια η τιμή της πίεσης στο Β;
iii) Σε πόσο ύψος θα ανέβει το νερό στον δεύτερο σωλήνα;
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000Ν/m2 και g=10m/s2.
ή



Παρασκευή, 28 Αυγούστου 2015

Όταν στην τροχαλία υπάρχουν τριβές



Η παρακάτω άσκηση είναι παραλλαγή του παραδείγματος 2-4 του συγγράμματος “Fluid mechanics” των Cengel Cambala.
Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικές κυλινδρικές επιφάνειες ακτίνων R1=9,8cm, R2=10cmh=2cm και αμελητέας μάζας. Μεταξύ των δύο επιφανειών υπάρχει λιπαντικό με συντελεστή ιξώδους η. Η εσωτερική επιφάνεια είναι ακίνητη και η εξωτερική είναι ελεύθερη να κινηθεί.
Στην εξωτερική επιφάνεια είναι τυλιγμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας. Στην άκρη του νήματος είναι στερεωμένο σώμα μάζας m=2,5Κg. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί, διαπιστώνουμε ότι στην αρχή η κίνησή του είναι επιταχυνόμενη και στην συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα vo=5m/s .
Να υπολογιστεί ο συντελεστής ιξώδους. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
Η λύση σε word και σε pdf

Η παροχή και η συνέχεια σε ένα σωλήνα.

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου έχουμε μια στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού, σταθερής παροχής.
 
i) Για τις ταχύτητες ροής στα σημεία Α, Β και Γ ισχύει:
α) υΑΒΓ,   β)  υΑ> υΒ> υΓ,   γ) υΑ< υΒ= υΓ.
ii) Ένα σωμάτιο  ρευστού κατά την κίνησή του από το σημείο Β στο σημείο Γ επιταχύνεται ή όχι;
iii) Για να μπορεί να υπάρχει η ροή αυτή, θα πρέπει pΑ=pΓ.
iv) Αν για τις δυο διατομές Α1 και Α2 του σχήματος ισχύει ότι Α1=20Α2 και η ταχύτητα ροής στο σημείο Β είναι υΒ=2m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στο σημείο Α.
v) Ένα σωμάτιο ρευστού στη θέση Ο επιταχύνεται ή όχι; Αν ναι πού οφείλεται η επιτάχυνσή του;
Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Πέμπτη, 27 Αυγούστου 2015

Ταλαντώσεις με άσκηση παροδικής δύναμης.

Ένα σώμα μάζας m=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m2. Σε μια στιγμή, έστω t=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής κατακόρυφης δύναμης μέτρου F=20Ν, μέχρι τη στιγμή t1=1,75s, όπου η δύναμη παύει να ασκείται.
i)  Να αποδείξετε ότι  στο παραπάνω χρονικό διάστημα 0-t­1, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t1.
iii) Να υπολογίσετε το έργο της ασκούμενης δύναμης F.
iv) Να βρεθεί το πλάτος και η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, μετά την κατάργηση της δύναμης F.
Δίνεται g=10m/s2 και π2≈10.
ή






Δευτέρα, 24 Αυγούστου 2015

Τρεις παροχές από έναν σωλήνα.

Το παρακάτω σχήμα, δείχνει ένα τμήμα ενός οριζόντιου συστήματος ύδρευσης που καταλήγει σε τρεις σωλήνες, από τους οποίους το νερό εκρέει με την ίδια ταχύτητα υ=0,4m/s. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, σε όλο το μήκος της σωληνώσεως.
Ο σωλήνας 1 έχει διατομή Α1=2cm2. Από τον σωλήνα 2 εξέρχονται 2L νερού σε 100s, ενώ  η παροχή του σωλήνα 3, είναι ίση με το άθροισμα των παροχών των  δύο άλλων σωλήνων.
i) Να βρεθούν οι παροχές των τριών σωλήνων.
ii) Να υπολογιστούν τα εμβαδά διατομής των δύο άλλων σωλήνων.
iii) Να βρεθεί η πίεση του νερού στα σημεία Γ και Β, αν η εγκάρσια διατομή του σωλήνα στο σημείο Β είναι 10cm2.
iv) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Α και Β ισχύει:
α) pA< pΒ,    β) pA= pΒ,   γ) pA> pΒ.
Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Δίνεται η  ατμοσφαιρική πίεση pατ=1αtm=105Ν/m2 και η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3.
ή





Σάββατο, 22 Αυγούστου 2015

Με ανοικτή και κλειστή την στρόφιγγα.

Μια  μεγάλη δεξαμενή είναι γεμάτη νερό μέχρι ύψους h=5m, ενώ ένα σωλήνας, που συνδέεται στον πυθμένα, έχει διατομή Α=1cm2 και κλείνεται με στρόφιγγα στο άκρο Α, όπως στο σχήμα. Το νερό με πυκνότητα ρ=1.000kg/m3, θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή στρωτή και μόνιμη με τη στρόφιγγα ανοικτή, ενώ στο σχήμα έχει χαραχθεί μια ρευματική γραμμή ΔΓΑ. Δίνεται επίσης g=10m/s2.
i)  Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος, με την στρόφιγγα ανοικτή:
α) Η πίεση στο σημείο Δ της επιφάνειας είναι ίση με την πίεση στο Α.
β) Μια μικρή μάζα νερού, έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγμή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο Δ.        
γ) Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο Α. 
δ) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ ισχύει pΒ-pΓ=ρghΓΒ.
ii) Αν η διατομή της δεξαμενής είναι πολύ μεγάλη, ποια η ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από το άκρο Α;
iii) Κλείνουμε την στρόφιγγα. Η πίεση στο σημείο Α άλλαξε ή όχι;        
v) Αν πιέσουμε με την βοήθεια ενός εμβόλου την πάνω επιφάνεια  της δεξαμενής, θα αυξηθεί η ποσότητα του νερού που θα βγαίνει από την διατομή στο Α, με τη στρόφιγγα ανοικτή. Μπορείτε να εξηγείστε γιατί συμβαίνει αυτό;    
ή






Τετάρτη, 19 Αυγούστου 2015

Ρευματική γραμμή και φλέβα.

Στο σχήμα δίνεται ένα τμήμα οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου ρέει ιδανικό υγρό, με σταθερή παροχή και κάποιες ρευματικές γραμμές του.
i) Η ροή αυτή είναι στρωτή ή τυρβώδης;
ii) Να σημειώστε στο σχήμα τη φλέβα του υγρού η οποία περικλείεται από τις δύο κόκκινες ρευματικές γραμμές του σχήματος, την οποία ας ονομάσουμε φλέβα Χ.
iii) Μια δεύτερη φλέβα Υ περιβάλλεται από τις μπλε ρευματικές γραμμές. Η παροχή είναι μεγαλύτερη στην φλέβα Χ ή στην Υ και γιατί;
iv) Κάποια στιγμή ένα σωμάτιο βρίσκεται στο σημείο Β. Να σχεδιάστε την ταχύτητα του σωματίου αυτού. Μπορεί μετά από λίγο το σωμάτιο αυτό να περάσει από το σημείο Γ;
v) Ένα σωμάτιο Σ1 σε μια στιγμή t0 περνάει από το σημείο Α, ενώ τη στιγμή t1, φτάνει στο σημείο Γ, ενώ στο σημείο Α βρίσκεται πια ένα δεύτερο σωμάτιο Σ2.
α) Το σωμάτιο Σ1 ή το Σ2 έχει μεγαλύτερη ταχύτητα στη θέση Α;
β) Τη στιγμή t1 ποιο από τα δύο σωμάτια έχει μεγαλύτερη ταχύτητα;
γ) Κατά την μετακίνηση του Σ1 από το Α στο Β ασκήθηκε πάνω του δύναμη ή όχι; Αν ναι, από πού μπορεί να ασκήθηκε η δύναμη αυτή; Το έργο της δύναμης αυτής είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν;
Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

ή



Κυριακή, 16 Αυγούστου 2015

Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας.

Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται ένας υδραυλικός ανυψωτήρας, με χρήση νερού, όπου τα δύο έμβολα Α και Β, κυλινδρικού σχήματος, έχουν διατομές Α1=2cm2 και Α2=40cm2 αντίστοιχα και ισορροπούν στο ίδιο ύψος. Το έμβολο Α έχει βάρος w1=10Ν.
i)  Ποιο το βάρος του εμβόλου Β;
ii)  Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο Β, ένα σώμα Σ μάζας 200kg. Πόση κατακόρυφη δύναμη F πρέπει να ασκήσουμε στο Α έμβολο, ώστε να μην μετακινηθούν τα έμβολα;
iii) Αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F μετακινούμε το Α έμβολο κατά h1=80cm, φέρνοντάς το να ισορροπεί σε μια νέα θέση.
α) Πόσο θα ανέβει το σώμα Σ;
β) Ποια η τελική τιμή της δύναμης F1;
γ) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει η ατμόσφαιρα, επί του συστήματος.
δ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F.
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3, η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2 και g=10m/s2, ενώ οι κινήσεις των εμβόλων γίνονται χωρίς τριβές.
ή





Πέμπτη, 13 Αυγούστου 2015

Η ''περιφρόνηση'' των συνθηκών ισορροπίας, η αλλοίωση του ''σημαίνοντος'' και η αδικαιολόγητη ''αμέλεια''

Η ''περιφρόνηση'' των συνθηκών ισορροπίας, η αλλοίωση του ''σημαίνοντος'' και η αδικαιολόγητη ''αμέλεια''
Συνέχεια

Η πίεση και η αρχή του Pascal.

Το δοχείο κυβικού σχήματος πλευράς α=2m είναι γεμάτο με νερό και ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Στο μέσον της μιας έδρας του υπάρχει σωλήνας, όπου το νερό φτάνει σε ύψος επίσης α.
i)   Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το νερό στην πάνω και κάτω έδρα του κύβου, αν g=10m/s2 και pατ=105Ν/m2.
ii) Τοποθετούμε αβαρές έμβολο στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, φράζοντας τον σωλήνα. Αν το εμβαδόν του σωλήνα είναι Α1=10cm2 και ασκήσουμε στο έμβολο μια κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω μέτρου F=20Ν, να βρεθεί ξανά η δύναμη στις παραπάνω έδρες του δοχείου.

ή



Τρίτη, 11 Αυγούστου 2015

..Παίζοντας με ένα διαφανή, εύκαμπτο σωλήνα που περιέχει νερό!

Ο σωλήνας έχει μήκος L , το καμπύλο τμήμα είναι ημικύκλιο και περιέχει νερό.  Φυσάμε δυνατά και οριζόντια ακριβώς πάνω από το ένα σκέλος του και κάθετα στο επίπεδο του σωλήνα. Παρατηρούμε ότι σε αυτό το σκέλος το νερό ανεβαίνει , έτσι ώστε οι ελεύθερες επιφάνειες του νερού να απέχουν h.  Είναι : η πυκνότητα του νερού ρ , η πυκνότητα του αέρα ραέρα , και η ατμοσφαιρική πίεση Ρο . Θεωρείστε ότι το ιξώδες είναι μηδέν και τη ροή στρωτή.
α. Εξηγείστε γιατί συμβαίνει αυτό και βρείτε μια σχέση της ταχύτητας υ του αέρα που φυσάμε, σε σχέση με τα  h, g, και ρ/ραερ.
 β) Σταματάμε να φυσάμε απότομα, οπότε η στήλη του υγρού αρχίζει να κάνει ταλάντωση. Βρείτε μια έκφραση για την περίοδο της ταλάντωσης σε συνάρτηση των  g, L.
γ) Υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα της ελεύθερης επιφάνειας του νερού.
δ) Το νερό στο σωλήνα ισορροπεί.  Κλείνουμε το αριστερό άκρο με πώμα που στο κέντρο του έχει μια μικρή οπή εμβαδού Α1 =Α/50 , και βάζουμε τον αντίχειρα στη μικρή οπή, και το κατεβάζουμε κατά L/4.  Το ημικυκλικό τμήμα είναι όπως και πριν. Κατόπιν γεμίζουμε το δεξιό σκέλος με νερό μέχρι το στόμιό του. Ελευθερώνουμε το νερό τραβώντας τον αντίχειρά μας. Πόση είναι η ταχύτητα εκροής του νερού από το στόμιο του αριστερού σωλήνα, ελάχιστα μετά το τράβηγμα του αντίχειρα και θεωρώντας ότι η στάθμη του νερού κατεβαίνει πολύ αργά στον δεξιό σωλήνα.

Δευτέρα, 10 Αυγούστου 2015

Μια πλάγια κρούση και το μήκος διαδρομής.

Πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και μπροστά από κατακόρυφο ανένδοτο τοίχο δίνονται δύο σημεία Α και Β των οποίων οι αποστάσεις από τον τοίχο είναι 2,75 m και 4 m αντίστοιχα. Η απόσταση ΑΒ είναι 10 m. Από το σημείο Α εκσφενδονίζεται μικρή ελαστική σφαίρα προς τον τοίχο και μετά από ελαστική κρούση με αυτόν, διέρχεται από το σημείο Β. Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής της σφαίρας από το Α στο Β.

Σάββατο, 8 Αυγούστου 2015

Υπάρχει εγκλωβισμένος αέρας;


Ερώτηση 1η:
Στο δοχείο σχήματος U περιέχεται νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3, ενώ η υψομετρική διαφορά μεταξύ των ελεύθερων επιφανειών του νερού, είναι h=0,4m. Αν η πίεση πάνω από το αριστερό ανοικτό σκέλος του σωλήνα είναι η ατμοσφαιρική πίεση pα=105Ν/m2 και g=10m/s2:
i)  Να αποδείξτε ότι στον χώρο α, στο δεξιό και κλειστό σκέλος πάνω από το νερό, δεν υπάρχει κενό, αλλά περιέχεται κάποιο ή κάποια αέρια.
ii)  Η πίεση στο χώρο α έχει τιμή:
α) pα=pατ,     β) pα=pατ+ρgh,     γ) pα=pατ-ρgh
ή




Τετάρτη, 5 Αυγούστου 2015

Το ένα σκέλος φράσσεται…

Ο σωλήνας του σχήματος, με ισοπαχή σκέλη διατομής Α, περιέχει νερό, ενώ στο αριστερό σκέλος του ισορροπεί ένα έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το ύψος του νερού στα δυο σκέλη, είναι h1 και h2.
i) Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:
α)  Η πίεση σε ένα σημείο στην επιφάνεια  του νερού, στο δεξιό σκέλος του σωλήνα, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση.
β)  Το έμβολο ασκεί πίεση στο νερό, ίση με p=w/Α.
γ) Μεγαλύτερη πίεση ασκεί το νερό στη βάση του σωλήνα, παρά στο έμβολο.
δ) Η πίεση του νερού είναι μεγαλύτερη σε ένα σημείο πολύ κοντά στη βάση του σωλήνα, από ένα σημείο κοντά στο έμβολο.
ii) Η δύναμη που ασκείται από το νερό στο έμβολο, έχει μέτρο:
α) F=ρgh1Α,     β) F=ρgh2Α,      γ) F=ρg(h2-h1)Α,      δ) F=[pαt+ρg(h2-h1)]Α
ή





Κυριακή, 2 Αυγούστου 2015

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα  υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος  του  υγρού;
Εφαρμογή 1η:
Ένα κυλινδρικό δοχείο περιέχει υγρό μέχρι ύψος h.
i) Πόση δύναμη ασκεί  το υγρό στην βάση του δοχείου, εμβαδού Α;
ii) Πόση δύναμη ασκεί το υγρό στην παράπλευρη επιφάνεια του δοχείου;
Η ατμοσφαιρική πίεση να μην ληφθεί  υπόψη.
ή