Πέμπτη, 28 Μαΐου 2015

Τα "παλούκια" έρχονται…



Περνάμε σαν χάντρα ένα λεπτό δαχτυλίδι μάζας Μ = 10 g και ακτίνας R στη ράβδο - λαβή. Ανεβάζουμε το δαχτυλίδι στο κέντρο μάζας της ράβδου και ενώ στιγμιαία αυτό ισορροπεί του δίνουμε την χρονική στιγμή t0 = 0 ακαριαία γωνιακή ταχύτητα ω = 50 rad/s με φορά προς την άρθρωση και ταυτόχρονα το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθούν:
Α. Η κινητική ενέργεια του δαχτυλιδιού την στιγμή που βγαίνει από τη ράβδο.
Β. Τον αριθμό των περιστροφών που διέγραψε το δαχτυλίδι μέχρι να βγει από τη ράβδο
Γ. Η εξίσωση του μέτρου της ταχύτητας των σημείων του δαχτυλιδιού σαν συνάρτηση του χρόνου.
Δίνεται g = 10 m/s2, η ροπή αδράνειας του δακτυλιδιού I = MR2, το άκρο Γ βρίσκεται στο επίπεδο μηδενικής 


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τρίτη, 26 Μαΐου 2015

Σημειακή μάζα στο εσωτερικό σφαιρικού κελύφους.docx

Σημειακή μάζα κινείται στην χωρίς τριβή εσωτερική επιφάνεια ενός σφαιρικού κελύφους το οποίο έχει εσωτερική ακτίνα R=1,4m. H ταχύτητα της αποκτά τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή σε ύψος h1=0,1m και h2=0,3m από το κατώτερο σημείο της σφαίρας αντίστοιχα. Βρείτε ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας της σημειακής μάζας.

Για συνέχεια εδώ

Δευτέρα, 18 Μαΐου 2015

Σφαίρα και δίσκος πήραν τoν ανήφορο.

Από την βάση τεταρτοκυκλίου εκτοξεύουμε αρχικά μια σφαίρα (Ι1 = 0,4MR2) και στην συνέχεια ένα κύλινδρο (Ι2 = 0,5MR2) ίδιας μάζας και ίδιας ακτίνας με την ίδια ταχύτητα υcm και γωνιακή ταχύτητα ω. Και τα δύο στερεά κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.
Α. Σε μεγαλύτερο ύψος πάνω από την κορυφή του τεταρτοκυκλίου θα φτάσει:
α. η σφαίρα                 β. ο κύλινδρος             γ. στο ίδιο και τα δύο σώματα
Β. Τη στιγμή που κάθε σώμα βρίσκεται στο μισό του ύψους που θα φτάσει τελικά, μεγαλύτερη στροφορμή έχει:
α. η σφαίρα                 β. ο κύλινδρος             γ. στο ίδιο και τα δύο σώματα
Γ. Αν το τεταρτοκύκλιο ήταν λείο (οπότε και θα υπάρχει ολίσθηση), σε μεγαλύτερο ύψος θα φτάσει:
α. η σφαίρα                 β. ο κύλινδρος             γ. στο ίδιο και τα δύο σώματα






Β Θέματα στην μηχανική στερεού από το διαγώνισμα του Απριλίου.

Β3. Μία λεπτή σανίδα τοποθετείται πάνω σε δύο κυλίνδρους που περιστρέφονται με αντίθετες φορές. Η κινητική ενέργεια της σανίδας μεγιστοποιείται κάθε Δt1. Αν φέρουμε τους κυλίνδρους λίγο πιο κοντά, το χρονικό διάστημα μεγιστοποίησης της κινητικής ενέργειας της σανίδας θα γίνει Δt2 και θα ισχύει:
α. Δt1 = Δt2                   β. Δt1 > Δt2                   γ. Δt1 < Δt2




Πέμπτη, 14 Μαΐου 2015

ΘΕΜΑ Δ: Κύλινδρος σε τριγωνική βάση



Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα M = 4 kg, ακτίνα R = 0,2 m και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο που είναι στερεωμένος στην επάνω κορυφή διπλής τριγωνικής βάσης, ίδιας συνολικής μάζας Μ. Η βάση ακουμπά πάνω σε οριζόντιο δάπεδο και οι διαστάσεις της φαίνονται στο σχήμα. Το κέντρο μάζας της C βρίσκεται σε ύψος R/2 από το δάπεδο.Το σύστημα είναι ακίνητο αρχικά και μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος, που είναι τυλιγμένο στην επιφάνεια του κυλίνδρου και δεν γλιστράει, ασκούμε οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F.


Δ–1. Αν ο συντελεστής τριβής με το δάπεδο είναι αρκετά μεγάλος ώστε η βάση να μην ολισθαίνει,

α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου F ώστε να μην ανατραπεί το σύστημα.
β) Ποιός είναι ο ελάχιστος αναγκαίος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μορ;
(Είναι γνωστό ότι όταν τραβάμε το νήμα, το σημείο εφαρμογής της δύναμης στήριξης από το δάπεδο μετατοπίζεται δεξιά του C).

Δ–2. Για την τιμή του μέτρου της F δύναμης που υπολογίσατε στο Δ–1,
α) Με ποιό ρυθμό μεταβάλλεται η στροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του;
β) Πόση η κινητική του ενέργεια όταν θα έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους ℓ = 2,5 m;

Δ–3. Χρησιμοποιώντας λίγο λιπαντικό, μειώνουμε τον συντελεστή τριβής μεταξύ βάσης και δαπέδου σε μορ = μολ = μ = 0,2 και επαναλαμβάνουμε το πείραμα ασκώντας στο νήμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 40 N. Να υπολογίσετε:
α) Τη γωνιακή επιτάχυνση αγων του κυλίνδρου και την επιτάχυνση αο του κέντρου μάζας του.
β) Την οριζόντια απόσταση d του σημείου εφαρμογής της δύναμης του δαπέδου από το C.

Δ–4. Όταν θα έχει ξετυλιχτεί και πάλι το ίδιο μήκος νήματος ,
α) Πόση θα είναι τότε η κινητική ενέργεια του συστήματος και ποιός ο ρυθμός μεταβολής της;
β) Σε ποιές μορφές θα έχει μετατραπεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε  μέχρι τότε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης που ασκήθηκε στο νήμα;
(Δίνονται: Ιcm = ½MR²   ,   g = 10 m/s²)



 

Ποια η ελάχιστη δύναμη για να κάνει η ράβδος ανακύκλωση.

Μία κατακόρυφη ράβδος είναι αρθρωμένη, στο ένα άκρο της σε σταθερό άξονα και στο άλλο άκρο της ασκούμε μία δύναμη F  σταθερού μέτρου, όπου παραμένει συνεχώς κάθετη στην ράβδο. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της δύναμης F έτσι ώστε η ράβδος να καταφέρει να κάνει ανακύκλωση.






Κυριακή, 10 Μαΐου 2015

Ελαστική κρούση δύο σφαιρών.

Δύο μικρές σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες, συγκρατούνται όπως στο σχήμα στις κορυφές ενός λείου ημικυκλικού οδηγού. Σε μια στιγμή αφήνουμε την Α να πέσει, κινούμενη κατά μήκος του οδηγού σε κατακόρυφο επίπεδο. Μετά από λίγο αφήνουμε να κινηθεί και την σφαίρα Β. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Σ, η κατακόρυφη απόσταση του οποίου, από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς είναι y=0,25R. Αμέσως μετά την κρούση η ταχύτητα της Β σφαίρας είναι μηδενική.
i) Η κίνηση των σφαιρών είναι:
α) μεταφορική,   β) στροφική,    γ) σύνθετη.
ii) Για τις πυκνότητες ρ1 και ρ2 των υλικών των σφαιρών Α και Β αντίστοιχα, ισχύει:
α) ρ12=1/3 β) ρ12=1,    γ) ρ12=3/1
iii) Μετά την κρούση, η Α σφαίρα θα φτάσει μέχρι:
α) Την θέση που αφέθηκε να κινηθεί.
β) Πάνω από τη θέση Σ σε ύψος 3(R-y).
γ) Πάνω από τη θέση Σ σε ύψος 3R.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Σάββατο, 9 Μαΐου 2015

Μια ακτίνα σε δύο πρίσματα.

Τοποθετούμε δύο πρίσματα Χ και Υ, το ένα δίπλα στο άλλο, όπως στο σχήμα. Η τομή κάθε πρίσματος είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός πέφτει κάθετα στο μέσον της βάσης (ΒΜ) του Χ πρίσματος. Δίνονται οι δείκτες διάθλασης για την ακτίνα αυτή των δύο πρισμάτων nΧ=1,5 και nΥ=1,25.  Η ακτίνα θα εξέλθει ξανά στον αέρα:
i)  Από την πλευρά ΑΒ
ii) Από την πλευρά ΑΓ
iii) Από την πλευρά ΒΓ.
Να δικαιολογήστε την επιλογή σας.
ή
Μια ακτίνα σε δύο πρίσματα.


Παρασκευή, 8 Μαΐου 2015

Η τάση του νήματος και η μέγιστη τιμή της.

Στο σχήμα η ράβδος έχει αρθρωθεί στο ένα άκρο της Λ, ενώ στο άλλο έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο νήμα. Το σώμα Σ έχει το ίδιο βάρος w με την ομογενή ράβδο και ηρεμεί ενώ (ΜΟ)=(ΟΚ).
i)  Η τάση του νήματος είναι ίση:
α) Τ=1,0 w,  β) Τ=1,25w,  γ) Τ= 1,5w
ii) Ανεβάζουμε το σώμα Σ προς τα πάνω, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό μήκος του και το αφήνουμε να κινηθεί. Η μέγιστη τιμή της τάσης του νήματος είναι:
α) Τmax=1,5w,    β) Τmax=1,75w,   γ) Τmax=2w
ή


Πέμπτη, 7 Μαΐου 2015

Η στροφορμή και η ενέργεια του τροχού.

Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R και μάζας m. Η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, ενώ στρέφεται στο άκρο ομογενούς ράβδου ΑΟ, γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος που περνά από το Ο, έχοντας στροφορμή L0. Η ράβδος, μάζας Μ=3m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α, ενώ συγκρατείται σε οριζόντια θέση, δεμένη με νήμα.
i) Η κινητική ενέργεια Κ0 του τροχού είναι ίση:
α) Κ0=L02/2mR2,   β) Κ0=L02/mR2,   γ) Κ0=L0/2m.
ii) Κόβουμε το νήμα και το σύστημα πέφτει, οπότε μετά από λίγο, η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Στη θέση αυτή, ο τροχός έχει κινητική ενέργεια:
α) Κ1 < Κ0+mgℓ,  β) Κ10+mgℓ,   γ) Κ10+mgℓ
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο της Α:  Ιρ= 1/3 Μℓ2.
ή
Η στροφορμή και η ενέργεια του τροχού.


Τετάρτη, 6 Μαΐου 2015

Ποιο σώμα θα φτάσει σε μεγαλύτερο ύψος;

1η παραλλαγή:
Ένα σώμα κυβικού σχήματος ακμής α, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ0. Στην πορεία του συναντά λείο κεκλιμένο επίπεδο, με ομαλή κλίση, ώστε να μπορέσει ομαλά να συνεχίσει την κίνησή του, σε αυτό. Ο κύβος ανέρχεται μέχρι ύψος h1, πριν κινηθεί ξανά προς τα κάτω.
Κατά μήκος της ίδιας διαδρομής κινείται τώρα ένας κύλινδρος ακτίνας R=α/2, ο οποίος κυλίεται με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm0, ίση με την αρχική ταχύτητα του κύβου.
i) Αν h2 είναι τώρα το αντίστοιχο μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει ο κύλινδρος, ισχύει:
α) h1 < h2,       β) h1 = h2,       γ) h1 > h2.
ii) Τη στιγμή που ο κύλινδρος σταματά την ανοδική του κίνηση, έχει μηχανική ενέργεια:
α) Ε=mgh1,     β) Ε=1,5 mgh1,  γ) Ε=2mgh1.
Θεωρείστε το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το κέντρο μάζας του κύβου, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, ενώ για τον κύλινδρο Ι= ½ mR2.

ή


Σημαδεμένα θέματα Α

Μία συλλογή Α θεμάτων (πολλαπλής, Σ-Λ, κτλ) που έχουν τεθεί σε πανελλήνιες εξετάσεις και στα διαγωνίσματα της ΟΕΦΕ.
Στο ένα αρχείο υπάρχουν τσεκαρισμένες οι απαντήσεις ώστε να μπορεί εύκολα ο καθηγητής να επαληθεύει γρήγορα τις απαντήσεις (μπορεί κάποια να μου ξέφυγε) ενώ το άλλο αρχείο αφορά μαθητές που θα απαντήσουν.






 

Τρίτη, 5 Μαΐου 2015

Η κυκλική κίνηση και η ανύψωση του σώματος.


Πάνω σε ένα λείο τραπέζι συγκρατούμε μια μικρή σφαίρα Σ1, η οποία είναι δεμένη στο ένα άκρο νήματος. Το νήμα περνά από μια μικρή τρύπα, στο κέντρο του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο  είναι δεμένη και κρέμεται μια άλλη ίσης μάζας σφαίρα Σ2. Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα Σ1 με αρχική ταχύτητα υ0=√Rg, με κατεύθυνση κάθετη στο νήμα, όπου R το μήκος του οριζόντιου τμήματος του νήματος.
i) Η σφαίρα Σ2:
  α) θα συνεχίσει να ηρεμεί,  β) θα κινηθεί προς τα πάνω,  γ) θα κινηθεί προς τα κάτω.
ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλά τώρα προσδίδουμε μεγαλύτερη αρχική ταχύτητα υ01 στη σφαίρα Σ1. Το αποτέλεσμα είναι η σφαίρα Σ2 να κινηθεί προς τα πάνω και να ανυψωθεί κατά h= ½ R, φτάνοντας σε σημείο Α. Για την ταχύτητα υ01 εκτόξευσης ισχύει:
α)  υ01=√(1,2Rg),       β) υ01=√(1,5Rg),       γ) υ01=√(1,8Rg),       .
iii) Τελικά η σφαίρα Σ2 θα παραμείνει στην θέση Α ή θα κινηθεί ξανά προς τα κάτω;
Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
ή



Δύο κινήσεις σε κεκλιμένα επίπεδα.


Έστω δύο κεκλιμένα επίπεδα με την ίδια κλίση θ. Το πρώτο είναι λείο, ενώ το δεύτερο όχι. Κάποια στιγμή αφήνουμε στο πρώτο, στη θέση Α, μια σφαίρα ακτίνας R και μάζας Μ και στο δεύτερο, στη θέση Α΄, έναν κύλινδρο ίδιας ακτίνας και μάζας, ο οποίος κυλίεται. Τα σημεία Α και Α΄ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Στο σχήμα βλέπετε τα στερεά να φτάνουν σε νέες θέσεις Β και Β΄ με υψομετρική διαφορά h, σε σχέση με τις θέσεις που αφέθηκαν να κινηθούν.
i) Πρώτο κατέβηκε κατά h:
α) η σφαίρα,   β) ο κύλινδρος,   γ) φτάσανε ταυτόχρονα.
ii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια στις κάτω θέσεις έχει:
α) η σφαίρα,   β) ο κύλινδρος,   γ) έχουν ίσες κινητικές ενέργειες.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή


Κύβος κλειδώνει δίσκο…





Στο διπλανό σχήμα ένας λεπτός  κατακόρυφος δίσκος μάζας Μ = 1 kg ακτίνας R = 0,2 m και ένας κύβος  με ακμή 2R βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με το κύβο μάζας m = 0,25 kg να πλησιάζει το δίσκο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ0 = 10 m/s  ενώ ο δίσκος βρίσκεται σε επαφή με μη λείο τοίχωμα  και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 30 rad/s. Το  ιδανικό ελατήριο σταθερά k = 25 N/m  είναι στερεωμένο στο κέντρο του κύβου και έχει μία ειδική διχάλα που μόλις  φτάσει στο δίσκο ακουμπά  και «κλειδώνει» με την οριζόντια αβαρή ακίδα που βρίσκεται στο κέντρο του δίσκου πιέζοντας τον δίσκο προς τον τοίχο χωρίς όμως το ελατήριο να επηρεάζει την περιστροφή του δίσκου. Αν  ο δίσκος μόλις και δεν ανασηκώνεται από το  δάπεδο αλλά και καμία χρονική στιγμή δεν σταματά να περιστρέφεται να βρεθούν:

AΠΑΝΤΗΣΗ