Δευτέρα, 29 Σεπτεμβρίου 2014

Δύναμη με μεταβαλλόμενο μέτρο.

Σώμα Σ μάζας m = 4 kg, είναι δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο  άκρου του οποίου είναι δεμένο στο δάπεδο. Το σώμα ηρεμεί και κάποια στιγμή  δέχεται μία δύναμη σταθερής κατεύθυνσης και μεταβαλλόμενου μέτρου που δίνεται από την σχέση F = 10 + 200|x| (S.I.) όπου x η απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος. Η δύναμη αυτή ασκείται στο σώμα μέχρι να γίνει ίση με την δύναμη του ελατηρίου και μετά καταργείται.
α. Ποια η κατεύθυνση της δύναμης F πόση η παραμόρφωση του ελατηρίου την στιγμή που καταργείται η δύναμη F;

Παρασκευή, 26 Σεπτεμβρίου 2014

Δυο σώματα δεμένα ταλαντεύονται

Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο:
Απάντηση:

Θέμα Β με εξωτερική δύναμη.

Σώμα Σ μάζας m ισορροπεί αρχικά σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k. Την χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε στο σώμα οριζόντια σταθερή δύναμη F με αποτέλεσμα το ελατήριο να επιμηκύνεται. Μόλις το σώμα ακινητοποιηθεί για πρώτη φορά, καταργούμε ακαριαία την δύναμη F και το σώμα εκτελεί μία νέα ταλάντωση.
Α. Το σώμα ξαναπερνά από την θέση φυσικού μήκους την χρονική στιγμή:

  
 

Πέμπτη, 25 Σεπτεμβρίου 2014

Εξωτερική δύναμη και κρούση.

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σώμα Σ1 μάζας m1 = 1 kg, που είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 100 N/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα ισορροπεί σε επαφή με το λείο οριζόντιο δάπεδο και με το ελατήριο στη κατάσταση φυσικού μήκους. Τη χρονική στιγμή t0 = 0, στο σώμα ενεργεί σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 40 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα οπότε το σύστημα ξεκινά απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t1 που η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι τριπλάσια της δυναμικής (Κ = 3U) και το σώμα Σ1 κινείται στον θετικό ημιάξονα της κίνησης με θετική ταχύτητα, συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2 = 9/16 kg, το οποίο κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση με το Σ1 έχοντας ταχύτητα μέτρου υ2 = 323/9m/s. Τη στιγμή που γίνεται η κρούση των δύο σωμάτων η δύναμη καταργείται ακαριαία.
 

Τετάρτη, 24 Σεπτεμβρίου 2014

Μία εξωτερική δύναμη δύο ταλαντώσεις

Σώμα Σ μάζας m = 1 kg, είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k1 = 100 N/m και ισορροπεί. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Με την βοήθεια σταθερής εξωτερικής δύναμης F  θέτουμε το σύστημα σε ταλάντωση. Όταν το σύστημα φτάνει σε μία θέση, όπου το βάρος του σώματος w και η δύναμη του ελατηρίου Fελ, είναι ίσες η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται και ταυτόχρονα η δύναμη F  καταργείται. Το σώμα ξεκινά μία νέα ταλάντωση, όπου στην κατώτερη θέση (που μηδενίζεται η ταχύτητα του), έρχεται σε επαφή με δεύτερο ελατήριο σταθεράς k2 = 300 N/m με το οποίο δένεται και σ’ αυτό χωρίς απώλειες ενέργειας και ξεκινά εκ νέου ταλάντωση.

         
 

Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2014

Ασκώντας μια δύναμη για λίγο.


Ένα σώμα, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m. Σε μια στιγμή t=0, στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=20Ν, όπως στο σχήμα, μέχρι τη στιγμή που θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος, οπότε και η δύναμη καταργείται.
i)   Να αποδείξετε ότι για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.
ii)  Πόση είναι η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμη F;
iii)  Να βρεθεί το πλάτος και η ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος, μετά την κατάργηση της δύναμης F.
iv) Ποια από τις δύο ταλαντώσεις έχει μεγαλύτερη περίοδο και γιατί;
ή

Δευτέρα, 22 Σεπτεμβρίου 2014

O πυκνωτής μόνο φορτίζεται;Mήπως και αυτός μπορεί να «φορτίζει»;

Η συνδεσμολογία του παραπάνω κυκλώματος περιέχει τρεις  ανοιχτούς διακόπτες Δ1 Δ2 και Δ3 δύο ιδανικές πηγές με ΗΕΔ Ε1=20V  & Ε2=6V έναν ιδανικό  αρχικά αφόρτιστο πυκνωτή χωρητικότητας C=2μF ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=20mH και δύο αντιστάτες ωμικής αντίστασης R=10√3 Ω ο καθένας.
Κάποια χρονική στιγμή κλείνουμε τους διακόπτες Δ1 και Δ3 ενώ αφήνουμε ανοιχτό τον Δ2.Κάποια τυχαία χρονική στιγμή και ενώ έχει επέλθει η μόνιμη κατάσταση των δύο υποκυκλωμάτων που την θεωρούμε σαν t=0 ανοίγουμε ταυτόχρονα και ακαριαία τους διακόπτες Δ1  και Δ3 ενώ κλείνουμε τον διακόπτη Δ2.
Nα βρεθούν:
Α)Το φορτίο  πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο την στιγμή t=0
B)Tην εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή αν θεωρηθεί οπλισμός αναφοράς ο πάνω οπλισμός του πυκνωτή
Αν την στιγμή t=π/7500 s  ανοίξει ακαριαία ο διακόπτης Δ2 και κλείσει ταυτόχρονα ο Δ1 να βρεθεί
Γ)Η θερμότητα που θα παραχθεί στην πρώτη αντίσταση R μέχρι και πάλι να αποκατασταθεί το κύκλωμα.

Κυριακή, 21 Σεπτεμβρίου 2014

Μία έκρηξη για να φρενάρουμε την ταλάντωση.

Σώμα μάζας Μ = 2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου  k1 = 20 N/m που έχει το κάτω άκρο ακλόνητα δεμένο στο πάτωμα. Το σύστημα ξεκίνησε την ταλάντωση του μόλις το τοποθετήσαμε πάνω στο ελατήριο (σταθεράς k1) που βρισκόταν στην θέση του φυσικού του μήκους και σε απόσταση d = 0,2 m από το φυσικό μήκος ενός άλλου ελατηρίου σταθεράς k2 = 50 N/m που βρίσκεται ακριβώς από πάνω του όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του, το σώμα εκρήγνυται σε δύο ίσα μέρη μάζας m το καθένα. Το ένα σώμα παραμένει δεμένο στο ελατήριο και ακινητοποιημένο στη θέση όπου έγινε η έκρηξη, ενώ το άλλο σώμα συναντά κατά την άνοδο του το ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου (σταθεράς k2). Το σώμα δένεται στο ελατήριο χωρίς απώλειες ενέργειας και αρχίζει την ταλάντωση του.

     

Οπλισμός πυκνωτή με αρνητικό φορτίο.


Σαν συνέχεια της ανάρτησης  «Τα θετικά και τα αρνητικά στην Ηλεκτρική Ταλάντωση», ας δούμε και την περίπτωση που το αρχικό φορτίο του πυκνωτή είναι αρνητικό.
Στο ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος, δίνονται ότι C=10μF και L=4mΗ. Ο πυκνωτής είχε φορτιστεί  με φορτίο Q=40μC και εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Δεχόμαστε t=0 τη στιγμή που q=-20μC και i>0. Να βρεθούν:
i)    Οι εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii)   Η τάση του πυκνωτή Vc και η τάση του πηνίου VL, όπως και η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στο πηνίο τη στιγμή t=0.
iii)  Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος την παραπάνω χρονική στιγμή.
iv)  Η ισχύς του πυκνωτή και η ισχύς του πηνίου.
ή

Διπλή κρούση και διπλή αλλαγή θέσης ισορροπίας



To παρακάτω σύστημα  που ισορροπεί κατακόρυφα αποτελείται από:
-Ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=4π2Ν/m που ισορροπεί κατακόρυφα έχοντας το άνω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα
-Σημειακό σώμα μάζας Μ=1Κg  που είναι δεμένο στο κάτω άκρο του ελατηρίου
-Μη ελαστικό αβαρές νήμα μήκους L που είναι δεμένο στο κάτω άκρο του σημειακού σώματος Μ
-Δεύτερο σημειακό σώμα μάζας m=0,5Kg που είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του μη ελαστικού νήματος.



Τρίτο σημειακό σώμα μάζας m1 = 0,5Kg  κινείται κατακόρυφα με ταχύτητα μέτρου u0  και τη χρονική στιγμή t=0 συγκρούεται  κεντρικά πλαστικά και ακαριαία με το σώμα μάζας m.Aν τα τρία σώματα συγκρουστούν και πάλι κεντρικά και ακαριαία την στιγμή που το σώμα μάζας Μ κατέρχεται με την μέγιστη δυνατή του ταχύτητα  για πρώτη φορά  ενώ το συσσωμάτωμα m-m1  μόλις και έχει φτάσει στο ανώτερο σημείο της κατακόρυφης τροχιάς του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΕ pdf

Σάββατο, 20 Σεπτεμβρίου 2014

Τα θετικά και τα αρνητικά στην Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Ας έρθουμε σε ένα κύκλωμα LC, όπως στο διπλανό σχήμα, για το οποίο μας δίνεται ότι ο πυκνωτής έχει φορτισθεί με τάση V=10V και τη στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη. Αμέσως μετά, ποιο είναι το πρόσημο για τα μεγέθη: φορτίο πυκνωτή, ένταση ρεύματος, τάση πυκνωτή, τάση του πηνίου και ΗΕΔ από αυτεπαγωγή του πηνίου;
Δεν μπορούν να απαντηθούν τα παραπάνω ερωτήματα, αν προηγουμένως δεν ορίσουμε ποιος οπλισμός του πυκνωτή φέρει το θετικό φορτίο. Ο ορισμός αυτός είναι αυθαίρετος, όπως αυθαίρετα ορίζουμε την θετική κατεύθυνση στις μηχανικές ταλαντώσεις. Έχουμε το δικαίωμα να ορίσουμε αυθαίρετα τον θετικό οπλισμό, αλλά αυτός ο ορισμός θα συμπαρασύρει και τα πρόσημα όλων των άλλων μεγεθών που αναφέρθηκαν.
Έστω λοιπόν, ότι δεχόμαστε ότι ο οπλισμός Α φέρει θετικό φορτίο τη στιγμή t=0.  Ο οπλισμός αυτός θα είναι ο οπλισμός αναφοράς μας και στο φορτίο του θα αναφερόμαστε, από δω και πέρα, ονομάζοντάς το «φορτίο πυκνωτή». Αλλά αν λάβουμε υπόψη ότι q=CV,  σε θετικό φορτίο αντιστοιχεί και θετική τάση. Αν λοιπόν το q>0 και η αντίστοιχη τάση του πυκνωτή Vc>0. Συνεπώς μιλώντας για θετική τάση, εννοούμε την τάση Vc=VΑΒ=+10V και η θετική φορά διαγραφής θα είναι όπως στο σχήμα (ωρολογιακή φορά), αφού η ένταση του ρεύματος με φορά προς τον οπλισμό Α, θα επιφέρει αύξηση του φορτίου του πυκνωτή. Όμως εδώ ο πυκνωτής εκφορτίζεται και η ένταση του ρεύματος θα είναι όπως στο σχήμα, αλλά τότε i<0 o:p="">
Από τον δεύτερο κανόνα του Kirchhoff θα πάρουμε (με τη φορά διαγραφής):
VΑΒ+VΓΔ=0 ή
VΓΔ=-VΑΒ < 0 ή
VL<0 o:p="">
Δηλαδή μιλώντας για τάση στο πηνίο αυτή θα είναι αρνητική και μάλιστα VL= -10V. Τι σημαίνει αρνητική τάση; Σημαίνει ότι το δυναμικό στο Γ είναι μικρότερο από το δυναμικό στο Δ. Να το πούμε αλλιώς;
Το πηνίο λειτουργεί ως μια ηλεκτρεγερτική δύναμη με τον θετικό πόλο στο άκρο του Δ.
Πόση είναι τώρα δηλαδή η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή; Με βάση τη φορά διαγραφής:
Εαυτ=+10V.
Τι σημαίνει η θετική τιμή της ΗΕΔ; Ότι τείνει να δημιουργήσει στο κύκλωμα μια θετική ένταση ρεύματος!!!
Προφανώς θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τον οπλισμό Β να έχει το θετικό φορτίο. Η κατάσταση θα μπορούσε να μελετηθεί εξίσου σωστά, απλά τώρα θα είχαμε τα πρόσημα με βάση τη νέα φορά διαγραφής, δηλαδή

Η συνέχεια σε pdf.
ή



Μία ισορροπία δύο ταλαντώσεις

Τα σώματα Σ1 και Σ2, με μάζες m1 = 1 kg και m2 = 2 kg αντίστοιχα ισορροπούν πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο (σταθεράς k1 = 100 N/m) που το ένα άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο και το άλλο δεμένο με το Σ1. Πάνω στο Σ1 βρίσκεται σε επαφή το Σ2 και η εφαπτόμενες επιφάνειες είναι λείες. Το πάνω μέρος της επιφάνειας του Σ1 βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τις υπόλοιπες λείες επιφάνειες όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας m = 0,2 kg, που κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ0 σφηνώνεται στο Σ2 και το συσσωμάτωμα αφού διανύσει απόσταση d1 = 0,45π m, καρφώνεται χωρίς απώλειες ενέργειας στο οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k2. Από την στιγμή που έγινε η κρούση μέχρι την στιγμή που το συσσωμάτωμα καρφώνεται στο άκρο του ελατηρίου, το Σ1 έχει κάνει ήδη δύο πλήρες ταλαντώσεις και έχει επιπλέον διανύσει απόσταση ίση με το πλάτος της ταλάντωσης του. Αφού αρχίσουν να ταλαντώνονται και τα δύο συστήματα, περνούν ταυτόχρονα από την θέση ισορροπίας τους. Να βρείτε:
α. το μέγιστο ύψος (από την επιφάνεια) που μπορεί να βρεθεί το Σ1 κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του.

    

Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2014

Ο Ψηλός και ο Κοντός


O Κοντός και ο Ψηλός αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι οριζόντιων βολών και ταλαντώσεων. Στερεώνουν ένα  σημειακό σώμα μάζας m1=1kg  πάνω σε ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθερά Κ=100Ν/m και φυσικού μήκους Lo=0,4m  που το κάτω του άκρο είναι στερεωμένο στο έδαφος. Παίρνουν ο καθένας από ένα σημειακό σώμα μάζας m2=0,5kg στα χέρια τους και απομακρύνονται ο ένας δεξιά και άλλος αριστερά και στην ίδια ευθεία από το κατακόρυφο ελατήριο. Εκτοξεύουν από ύψος Η1=2,1m ο ψηλός  με οριζόντια ταχύτητα u1=10 m/s και από ύψος Η2=1,55m  ο κοντός οριζόντια τα δύο σώματα μάζας m2 και παρατηρούν ότι τα σώματα συγκρούονται πλαστικά και ακαριαία  με το σώμα μάζας m1 και το σύστημα αρχίζει να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση


ΑΠΑΝΤΗΣΗ σε doc                                       AΠΑΝΤΗΣΗ σε pdf

Σώμα δεμένο με νήμα στον τοίχο

Στο διπλανό σχήμα ένα σώμα μάζας m = 2 kg ισορροπεί δεμένο από την μία άκρη του με σχοινί και από την άλλη με ελατήριο του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε τοίχο. Το σχοινί έχει μήκος d = 0,1 m και κόβοντας το σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέγιστη απόσταση από τον τοίχο που βρίσκεται το σώμα μάζας m κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του είναι dmax = 0,5 m και φτάνει εκεί για πρώτη φορά μετά το κόψιμο του νήματος τη χρονική στιγμή t1 = 0,05π sec. Να βρεθούν:
α. Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα m για να διανύσει τέσσερις φορές το πλάτος του.
β. Η τάση του νήματος πριν αυτό κοπεί
γ. Το μέτρο της ταχύτητας όταν το σώμα μάζας m απέχει 0,3 m απ’ τον δεξιό τοίχο.
Όταν το σώμα περνά από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης σπάει ο σύνδεσμος μεταξύ σώματος και ελατηρίου.
δ. Να βρεθεί η περίοδος της περιοδικής κίνησης που θα ακολουθήσει θεωρώντας ελαστικές τις κρούσεις με τον τοίχο.
Δίνεται π = 3,14 και π2 = 10. Οι διαστάσεις του σώματος θεωρούνται αμελητέες όπως και η διάρκεια της κρούσης. Το ελατήριο είναι ιδανικό.
         

Πέμπτη, 18 Σεπτεμβρίου 2014

Αν δίνεται το διάγραμμα της επιτάχυνσης.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg, εκτελεί ΑΑΤ και  στο διπλανό σχήμα δίνεται η επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με το χρόνο.
i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii)  Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, στο διάγραμμα α-t, μέχρι τη στιγμή t1=5/3s.
iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας την παραπάνω χρονική στιγμή t1.
ή

Δευτέρα, 15 Σεπτεμβρίου 2014

Αν κρεμάσουμε και μια πλάκα;


Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,5kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, έχοντάς το επιμηκύνει κατά 10cm. Δένουμε τη σφαίρα με μια πλάκα, μάζας Μ=1,5kg, μέσω αβαρούς νήματος και την συγκρατούμε σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι κατακόρυφο και τεντωμένο, χωρίς να προκαλείται μετακίνηση της σφαίρας. Στη θέση αυτή, η πλάκα απέχει κατά d=0,45m από το έδαφος, όπως στο διπλανό σχήμα.
Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την πλάκα, η οποία μετά από λίγο φτάνει στο έδαφος όπου και προσκολλάται, ενώ αμέσως κόβουμε και το νήμα. Να υπολογιστούν:
i) Η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας, καθώς και η επιτάχυνσή της:
α) ελάχιστα πριν και
β) ελάχιστα μετά
την κρούση της πλάκας.
ii) Η μέγιστη ταχύτητα της πλάκας.
iii) Η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, κατά την κρούση της πλάκας με το έδαφος.
iv) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, μετά και την αφαίρεση του νήματος;
ή