Κυριακή, 30 Μαρτίου 2014

Μεταβλητή δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο γενεσιουργός αιτία για μία κύλιση (Part II)…


Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ισορροπεί δίσκος μάζας  Μ = 10 kg και ακτίνας R = 0,1 m. Από το κέντρο του δίσκου περνάμε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 10π2 N/m έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές ο δίσκος και το ελατήριο να μην εμποδίζει την κίνηση του δίσκου.
Εκτρέπουμε το  κέντρο μάζας του δίσκου κατά Α = 0,2 m σε σχέση με το φυσικό μήκος του ελατηρίου  και τη χρονική στιγμή t = 0  αρχίζουμε να εφαρμόζουμε συνεχώς κατακόρυφη μεταβλητή  σε συνάρτηση με το χρόνο δύναμη F στο άκρο του δίσκου ενώ  την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αν ο δίσκος συνεχώς κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να βρεθούν:
α. Η εξίσωση της δύναμης F σε συνάρτηση με το χρόνο καθώς και της δύναμης του εδάφους στο δίσκο. Μπορεί να εξελιχθεί ομαλά το φαινόμενο ή όχι;
β. Το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή που ταχύτητα του κέντρου μάζας γίνει μέγιστη.
γ. Να βρεθεί ο λόγος των μέγιστων ισχύων της δύναμης F προς την δύναμη του ελατηρίου Fελ
Για το δίσκο δίνεται Ιcm = 0,5MR2 και για τις πράξεις θεωρήστε π2=10.

τικι-τάκα-τικι-τάκα….ή περιοδικότητα κρούσεων

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ράβδος μάζας Μ και μήκους d, που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της Κ χωρίς τριβές. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι Ιcm=1/12 Μd2.
Από το Κ είναι δεμένο με νήμα μήκους x, μη εκτατό, αμελητέας μάζας, σώμα μάζας m.   Tη χρονική στιγμή to=0 ,  δίνουμε στο σώμα  m  αρχική οριζόντια ταχύτητα uo κάθετη στο νήμα, και το σώμα κινούμενο χωρίς τριβές, συγκρούεται ελαστικά με την ακίνητη ράβδο. Αμέσως μετά την κρούση, η μάζα m ακινητοποιείται.  Δίνονται  m, M, d, uo.
1. Ποια χρονική στιγμή θα γίνει η  1η και η 2η κρούση;
2. Ποια χρονική στιγμή θα γίνει η 3η κρούση; Υπάρχει περιοδικότητα στις κρούσεις ; Αν ναι, βρείτε την περίοδο των κρούσεων.
3. Αν F η δύναμη που άσκησε  το…


Μια κινούμενη τροχαλία.

Γύρω από μια τροχαλία μάζας Μ=0,8kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ μάζας m=0,1kg. Συγκρατούμε τα δυο σώματα με τα χέρια μας, ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο (χωρίς να ασκεί δυνάμεις στα σώματα) και σε μια στιγμή t0=0,  αφήνουμε το σώμα Σ να κινηθεί, ενώ συγκρατούμε σταθερή την τροχαλία. Τη στιγμή t1=1s αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F2=11Ν, μέχρι τη στιγμή t2 που η τροχαλία αποκτά ταχύτητα υ2=1m/s.
i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης την οποία ασκούσαμε στην τροχαλία από 0-t1.
ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t2.
iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.
iv) Ποιες ενεργειακές μεταβολές εμφανίζονται στο χρονικό διάστημα Δt=t2-t1; Πώς συνδέονται οι μεταβολές αυτές με τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στα σώματα;
Για την τροχαλία ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= ½ ΜR2, ενώ g=10m/s2.
ή



Τρελοκοτσιδού...



Στο παραπάνω σχήμα η τροχαλία έχει μάζα Μ = 6 kg ακτίνα R = 0,1 m  και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι περασμένος στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερά k = 600 N/m και μεγάλου φυσικού μήκους  που δεν εμποδίζει την περιστροφή της τροχαλίας. Τα δύο σημειακά σώματα που είναι δεμένα στα άκρα μη ελαστικού σκοινιού που είναι περασμένο στην τροχαλία έχουν μάζες m1 = 2 kg και m2 = 5 kg. Το σύστημα συγκρατιέται ώστε οι μάζες m1 και m2 να βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενώ το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά x1.Tην χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο και παρατηρούμε ότι το κέντρο μάζας της τροχαλίας μένει ακίνητο. Αν τη χρονική στιγμή t1 = 1 s κοπούν ταυτόχρονα και τα δύο σκοινιά να υπολογιστούν:
α. Η αρχική συσπείρωση του ελατηρίου
β. Η μέγιστη ταχύτητα σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας.
γ. Η δύναμη του ελατηρίου σαν συνάρτηση του χρόνου και να γίνει η αντίστοιχή γραφική παράσταση.
Για την τροχαλία Ιcm = 0,5MR2.
AΠΑΝΤΗΣΗ



Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2014

Οι ενέργειες σε ένα σύστημα και σε έναν "τροχό".

Στην κορυφή ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου έχει στερεωθεί μια τροχαλία μάζας m=3kg και ακτίνας R=0,2m, στο αυλάκι της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε έναν κύβο μάζας Μ=m. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο τον κύβο να γλιστρήσει από ένα σημείο Α. Το νήμα είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο, ενώ δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2 και g=10m/s2.
i)   Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του κύβου και της τροχαλίας, τη στιγμή που  ο κύβος περνά από σημείο Β, τέτοιο ώστε το κέντρο μάζας του να απέχει κατακόρυφα κατά h=2m από τη θέση Α.
ii)  Επαναλάβουμε το πείραμα, αντικαθιστώντας τον κύβο με κύλινδρο ίσης μάζας, όπου το νήμα, με κατάλληλο μηχανισμό, συνδέεται στον άξονά του. Να εξετάσετε αν υπάρξει κάποια αλλαγή, στην κίνηση των σωμάτων.

ii) Σε ένα άλλο κεκλιμένο επίπεδο ίδιας κλίσης, αφήνουμε ελεύθερη την παραπάνω τροχαλία (μόνο το δίσκο), η οποία κυλίεται και μετά από λίγο περνά από ένα σημείο Β, τέτοιο ώστε το κέντρο μάζας της να βρίσκεται 2m χαμηλότερα από την αρχική θέση που ξεκίνησε. Να βρεθεί η κινητική της ενέργεια στη θέση Β. Ποιο μέρος της ενέργειας αυτής αντιστοιχεί στην μεταφορική και ποιο στην περιστροφική της κίνηση;

ή



Μεταβλητή δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο γενεσιουργός αιτία για τη δημιουργία κύλισης...



Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ισορροπεί δίσκος μάζας  Μ = 10 kg και ακτίνας R = 0,1 m. Από το κέντρο του δίσκου περνάμε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 10π2 N/m έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές ο δίσκος και το ελατήριο να μην εμποδίζει την κίνηση του δίσκου.
Εκτρέπουμε το  κέντρο μάζας του δίσκου κατά Α = 0,2 m σε σχέση με το φυσικό μήκος του ελατηρίου  και τη χρονική στιγμή t = 0  αρχίζουμε να εφαρμόζουμε συνεχώς κατακόρυφη μεταβλητή  σε συνάρτηση με το χρόνο δύναμη F στο άκρο του δίσκου ενώ  την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αν ο δίσκος συνεχώς κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να βρεθούν:
α. Η εξίσωση της δύναμης F σε συνάρτηση με το χρόνο καθώς και της δύναμης του εδάφους στο δίσκο. Μπορεί να εξελιχθεί ομαλά το φαινόμενο ή όχι;
β. Το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή που ταχύτητα του κέντρου μάζας γίνει μέγιστη.
Για το δίσκο δίνεται Ιcm = 0,5MR2 και για τις πράξεις θεωρήστε π2=10.

Πέμπτη, 27 Μαρτίου 2014

Road Runner Show

Το κογιότ θέλοντας να στήσει παγίδα στον Road Runner (= R.R.) τοποθετεί έναν βράχο σε μία πλαγιά ύψους Η = 6,25 m (το κέντρο μάζας του βράχου), από το κατώτερο σημείο της γειτονικής κοιλάδας που καταλήγει σε ημικύκλιο ακτίνας R = 2,5 m. Για να στηρίξει τον βράχο που έχει μάζα m = 70 kg και ακτίνα r = 0,5 m, τοποθετεί από κάτω έναν κύβο ακμής α έτσι ώστε ο βράχος μόλις που δεν τον υπερπηδά. Σε εκείνο το σημείο η καμπύλη πλαγιά έχει γωνία κλίσης θ = 60ο. Το κογιότ μαζί με το αβαρές νήμα που έχει δέσει τον κύβο κάθεται στο κατώτερο σημείο της πλαγιάς και περιμένει τον R.R. να περάσει ώστε να τραβήξει το σχοινί να πατήσει ο βράχος τον R.R.. Κάποια στιγμή ο R.R. προσπερνά τον βράχο και κατευθύνεται προς το κρυμμένο κογιότ το οποίο τραβά το σχοινί. Βέβαια ο R.R. είναι πολύ γρήγορος και έτσι ο βράχος ισοπεδώνει το κογιότ. Στην συνέχεια ο βράχος συνεχίζει την πορεία του προς το ημικύκλιο και στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του συγκρούεται με δοκό μήκους ℓ = 2,4 m και μάζας m1 = 43,75 kg, που είναι αρθρωμένη σε σημείο Ο (στο πάνω άκρο της) γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Ο βράχος χτυπά την ράβδο σε απόσταση d από το σημείο Ο, με αποτέλεσμα αυτός να χάσει όλη την μεταφορική κινητική του ενέργεια ενώ η δοκός μόλις που φτάνει στο ανώτερο σημείο και ακουμπά με μηδενική (σχεδόν) ταχύτητα διακόπτη, (που είχε ξεμείνει εκεί από παλιότερη παγίδα του κογιότ), με αποτέλεσμα να ελευθερωθεί μία μικρή μπάλα κανονιού μάζας m2 = 4 kg (αμελητέων διαστάσεων). Ο βράχος πέφτει κατακόρυφα και πετυχαίνει το κογιότ που μόλις είχε συνέλθει από το προηγούμενο χτύπημα. Η μπάλα αυτή ακολουθεί ένα χιονισμένο και παγωμένο μονοπάτι όπου ολισθαίνει χωρίς τριβές (και περιστροφές) που οδηγεί σε μία πόρτα ύψους h = 2 m και μάζας Μ = 12 kg η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κατώτερο της σημείο (έδαφος) και ταυτίζεται με την κάτω της πλευρά. Η μπάλα κατά τις συγκρούσεις της με τα πλαϊνά τοιχώματα της διαδρομής της έχει χάσει ενέργεια Εαπ. = 64 J. Η μπάλα πετυχαίνει την πόρτα σε σημείο που απέχειd1 = 1,5 m από το έδαφος και μετά ακινητοποιείται (στιγμιαία). Να βρείτε:

 

Τετάρτη, 26 Μαρτίου 2014

Ολίσθηση κύβου και περιστροφή τροχαλίας.

Στην κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου έχει στερεωθεί μια τροχαλία μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,2m, στο αυλάκι της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε έναν κύβο μάζας Μ=4kg, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ=0,25. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο τον κύβο να γλιστρήσει. Αν το νήμα είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο, η κλίση του οποίου είναι θ, όπου ημθ=0,6 και g=10m/s2, να βρεθούν:
i)  Η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί ο κύβος.
ii) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας, τη στιγμή που θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 1,25m.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κύβου και τροχαλίας την παραπάνω χρονική  στιγμή.
iv) Το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας του κύβου, που μεταφέρεται στην τροχαλία μέχρι τη στιγμή που ο κύβος φτάνει στο έδαφος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2.
ή




Δύο διαδοχικές ταλαντώσεις



Σώμα μάζας m = 1kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, που το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο.
Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 20 N, μετατοπίζοντάς το κατά Δx = 0,1 m ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται και στην συνέχεια την καταργούμε ακαριαία.
Θεωρώντας ως αρχή του άξονα (xo = 0) την αρχική θέση του σώματος και ως χρονική στιγμή μηδέν (to = 0) τη στιγμή έναρξης της κίνησής του, να προσδιορίσετε τη θέση x του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο t και να την απεικονίσετε γραφικά.

Τρίτη, 25 Μαρτίου 2014

Μπορεί μία κάθετη δύναμη στην μετατόπιση να παράγει έργο;

Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ισορροπεί δίσκος μάζας  Μ=10kg και ακτίνας R=0,1m. Από το κέντρο του δίσκου περνάμε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=10π2N/m  έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται  χωρίς τριβές ο δίσκος και το ελατήριο να μην εμποδίζει την κίνηση του δίσκου.
Την χρονική στιγμή t=0 εφαρμόζουμε συνεχώς κατακόρυφη μεταβλητή  δύναμη F=10t (SI) στο άκρο του δίσκου και εκτοξεύουμε το δίσκο με αρχική oριζόντια  ταχύτητα μέτρου uo=π/10m/s όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.Aν η δύναμη καταργηθεί όταν η ταχύτητα του κέντρου μάζας μηδενιστεί για πρώτη φορά να βρεθούν:
Α) Το έργο της δύναμης
B) H μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κατάργηση της δύναμης.
Γ) Η εξίσωση της ταχύτητας για το κατώτερο σημείο του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο μετά την κατάργηση της δύναμης.
Για το δίσκο δίνεται Ιcm=0,5MR2 & π2=10.


AΠΑΝΤΗΣΗ

Δευτέρα, 24 Μαρτίου 2014

Ένα L-C που θα έβαζε φωτιές…

Στο παραπάνω κύκλωμα τα ηλεκτρικά στοιχεία του κυκλώματος έχουν τιμές :
E=10V, r=0Ω, R1=10Ω, R2=90Ω, L=1mH Rπην=0Ω και ιδανικός πυκνωτής με C=10μF.
Κλείνουμε τους διακόπτες  Δ1 και Δ2 ταυτόχρονα και μετά από λίγο παρατηρούμε ότι οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τους διάφορους κλάδους το κυκλώματος είναι σταθερές. Την χρονική στιγμή t=0 ανοίγουμε τον διακόπτη Δ2 .
Να βρεθούν:
Α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R2 πριν το άνοιγμα του διακόπτη.
Β) Να βρεθεί η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή αν οπλισμός αναφοράς θεωρηθεί ο κάτω οπλισμός.
Γ) Ποιες χρονικές στιγμές θα μπορούσε να ξανακλείσει ο διακόπτης Δ2 ώστε να μην παραχθεί καθόλου θερμότητα στην αντίσταση R2.