Πέμπτη, 27 Φεβρουαρίου 2014

Μια δοκός σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω της μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, κάθετη στη δοκό και στο σχήμα φαίνονται τρεις διαφορετικές εκδοχές για το σημείο εφαρμογής της δύναμης.
i)   Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:
α) Η ράβδος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση και στις τρεις περιπτώσεις.
β) Το μέσον Μ της δοκού θα αποκτήσει την ίδια επιτάχυνση και στις τρεις περιπτώσεις.
γ) Η επιτάχυνση του σημείου Α (στο (α) σχήμα), θα είναι μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του σημείου Β (στο (β) σχήμα).
ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, ασκώντας τώρα μια ίσου μέτρου (F1=F2) αντιπαράλληλη δύναμη στο μέσον Β της ΜΑ, όπως στο σχήμα.
α) Η δοκός θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση
β) Το μέσον Μ θα παραμείνει ακίνητο.
γ)  Το άκρο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, με φορά ίδια με τη δύναμη που δέχεται.
iii) Προκειμένου να ισορροπήσει η παραπάνω ράβδος προτείνεται σε ένα σημείο της δοκού Γ, να ασκηθεί μια ακόμη οριζόντια δύναμη F3. Να εξετάσετε αν υπάρχει αυτή η δυνατότητα, και αν ναι, να βρεθεί η θέση του σημείου Γ.
iv) Στο διπλανό σχήμα, στη δοκό ασκούνται οι δυνάμεις F1, F2 και F3, όπου F1=F2=10Ν και F3= ½ F1 . Να εξετάσετε αν, ασκώντας μια ακόμη δύναμη F4 πάνω της, η δοκός μπορεί  να ισορροπήσει, και αν ναι, να βρεθούν τα χαρακτηριστικά της (μέτρο, κατεύθυνση και σημείο εφαρμογής της).
Απάντηση:
ή

Τετάρτη, 26 Φεβρουαρίου 2014

Αθλήτρια του Ansampl με στεφάνη

Αθλήτρια του ansampl με στεφάνη κάνει μια επίδειξη τεχνικής ως εξής:
Από το ύψος του ώμου της, και κρατώντας μια στεφάνη, περιστρέφει το χέρι της σε κατακόρυφο επίπεδο, και όταν το κάτω άκρο της κατακόρυφης στεφάνης φτάσει στο δάπεδο, την αφήνει, έτσι ώστε να έχει ανάποδες στροφές (αριστερόστροφες). Η στεφάνη μετατοπίζεται 5m, περιστρεφόμενη με ολίσθηση και επιστρέφει στην αθλήτρια κυλιόμενη, με ταχύτητα του κέντρου μάζας της 1m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης της στεφάνης με το δάπεδο είναι   μ=0,25 .Κατά  τη διάρκεια της κίνησης του χεριού της η στεφάνη δεν άλλαζε θέση σε σχέση με το χέρι της.
Θεωρείστε ότι η μάζα της στεφάνης m=0,5kg, είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά της, κι έχει ακτίνα R=0,5m. Δίνεται g=10m/s2 .
1. Υπολογίστε την επιβράδυνση του κέντρου μάζας της στεφάνης καθώς και τη γωνιακή επιβράδυνσή της.
2.  Υπολογίστε τον ολικό χρόνο κίνησης μέχρι να επιστρέψει στην αθλήτρια, καθώς και τον αριθμό στροφών που έκανε.
3. Πόση ενέργεια έγινε θερμότητα κατά την κίνησή της.
4. Ποια η ταχύτητα του σημείου επαφής της με το δάπεδο τη στιγμή που τελείωνε την δεύτερη στροφή της;
5. Να γίνει γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση του χρόνου  t  .

ή

Δευτέρα, 24 Φεβρουαρίου 2014

Ένας κύβος σε ημικυλινδρική κοίλη επιφάνεια.


Ένας κύβος ακμής 2α και μάζας m, τοποθετείται στο εσωτερικό μιας κοίλης ημικυλινδρικής επιφάνειας ακτίνας R=10α, σε τέτοια θέση, ώστε η ακτίνα που περνά από το κέντρο μάζας του, να σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.
 i) Αν για το συντελεστή οριακής στατικής τριβής, μεταξύ κύβου και επιφάνειας ισχύει μs=0,5, τότε ο κύβος:
α) Θα ισορροπήσει.
β) Θα ανατραπεί.
γ) Θα ολισθήσει κατά μήκος της επιφάνειας.
δ) Θα ολισθήσει και ταυτόχρονα θα ανατραπεί.
ii) Αν τη στιγμή που η ακτίνα που περνά από το κέντρο μάζας Κ του κύβου, γίνεται κατακόρυφη, το μέτρο της ταχύτητας του Κ, είναι υ1=√gα/5, τότε η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, κατά την κάθοδο του κύβου, είναι:
α) μικρότερη από 0,08mgα,   β) ίση με 0,08mgα     γ) μεγαλύτερη από 0,08mgα.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Θεωρείστε την απόσταση του κέντρου Κ του κύβου από το κέντρο της τροχιάς Ο ίση με R-α=9α.
ή


Κυριακή, 23 Φεβρουαρίου 2014

Τετράγωνη πλάκα σε ισορροπία

Μία ομογενής ράβδος είναι αρθρωμένη στο δεξιό της άκρο, ενώ το αριστερό της που φέρνει μία μικρή ανωμαλία ακουμπά πάνω σε τετράγωνη πλάκα και ισορροπεί οριζόντια. Η τετράγωνη πλάκα ισορροπεί και αυτή έτσι ώστε η δεξιά και η αριστερή πλευρά να είναι παράλληλες με τον φορέα του βάρους της. Το κάτω αριστερό άκρο της πλάκας είναι αρθρωμένο όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μάζα της ράβδου είναι m = 8 kg και η δύναμη που ασκεί στην πλάκα έχει μοχλοβραχίονα d = 0,4 m. Η πλάκα έχει μάζα Μ = 4 kg και ακμή α = 1 m.
Α. Να βρεθούν:
α. Το μέτρο της δύναμης που η ράβδος ασκεί στην πλάκα
β. Η απόσταση του μη αρθρωμένου άκρου της ράβδου από την κατακόρυφο που περνά από την άρθρωση της πλάκας
γ. Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής ώστε ράβδος και πλάκα να ισορροπούν.
δ. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η άρθρωση που κρατά την πλάκα.
Β. Κάποια στιγμή ανασηκώνουμε την ράβδο και η πλάκα αρχίζει να περιστρέφεται.
Να βρεθεί το μέτρο της στροφορμής της πλάκας την στιγμή που ο φορέας του βάρους της τέμνει την άρθρωση που την συγκρατεί.
 

ΤΡΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.

Στα δύο άκρα μιας μη ομογενούς λείας ράβδου και μάζας Μ=6Kg  μήκους L=4m που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το κέντρο της με την βοήθεια ακλόνητου οριζόντιου άξονα Ο δένουμε δύο κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια με σταθερές Κ1=400Ν/m και Κ2=100Ν/m. Στο πάνω μέρος των δύο ελατηρίων στερεώνουμε δύο μάζες m1=4kg και m2=1kg αντίστοιχα. Στο κέντρο της ράβδου υπάρχει τρίτη σημειακή μάζα m3= 6 kg που μπορεί να εκτελεί οριζόντια ταλάντωση  με εξίσωση x=ημ(10t+3π/2) (SI) με θέση ισορροπίας τον άξονα περιστροφής της οριζόντιας ράβδου.
Την χρονική στιγμή t=0 φέρνουμε τα δύο ελατήρια στο φυσικό τους μήκος  αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο ενώ το m3 αρχίζει να εκτελεί την ταλάντωση του. Αν το κέντρο μάζας της ράβδου βρίσκεται d1=1m από το κέντρο της και προς το δεύτερο ελατήριο:
A) Να αποδείξετε ότι η ράβδος συνεχίζει να μένει οριζόντια.
Β)Να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης που δέχεται το καρφί που στηρίζει την ράβδο στον άξονα περιστροφής της και να γίνει η γραφικής παράσταση.
Γ)Αν οι τρεις παραπάνω ταλαντώσεις των σωμάτων m1,m2 & m3 γινόταν ταυτόχρονα από ένα σώμα γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας ποια η συνολική εξίσωση ταλάντωσης του σώματος.

Σάββατο, 22 Φεβρουαρίου 2014

Αυτά που ....χάθηκαν στο δρόμο

Σφαιρίδιο μάζας m είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους L, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή. Αφήνουμε το σφαιρίδιο να κινηθεί, ξεκινώντας χωρίς αρχική ταχύτητα, από την θέση (1) όπου το τεντωμένο νήμα είναι οριζόντιο.
Α) Στη θέση (1) το σφαιρίδιο έχει γωνιακή επιτάχυνση:

Ράβδος και δίσκος


Μία ομογενής ράβδος μήκους ℓ = 8R και μάζας m1, είναι συγκολλημένη με ομογενή δίσκο ακτίνας R και μάζας m2. Τα δύο στερεά σώματα είναι συγκολλημένα (άκρο ράβδου και περιφέρεια δίσκου) έτσι ώστε ο άξονας της ράβδου να περνά από το κέντρο του δίσκου. Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται γύρο από άξονα που περνά από το ελεύθερο άκρο της ράβδου και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζουν αυτή και ο δίσκος ή γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και περνά από το κέντρο του. Οι ροπές αδράνειας ως προς Α και ως προς Γ είναι ίσες.
Α. Ποια η σχέση που συνδέει τις δύο μάζες;
α. m1 = 5m2                             β. m1 = 9m2                             γ. m1 = 12m2
Β. Ποια σχέση συνδέει τις σταθερές ροπές που πρέπει να ασκήσουμε σε κάθε περίπτωση στο στερεό ώστε στην κατακόρυφη θέση να ακινητοποιηθεί;
α. τ1 = τ2                                  β. τ1 = 9τ2                                γ. τ1 = 14τ2
Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
 

Παρασκευή, 21 Φεβρουαρίου 2014

Στατική τριβή με μορφή διακροτήματος.




Πάνω σε ένα μη λείο οριζόντιο επίπεδο ισορροπούν ένας κύβος μάζας Μ = 6,804 kg, ένας δίσκος μάζας m1 = 2 kg και ακτίνας R και μία σφαίρα μάζας m2 = 1 kg και ίδιας ακτίνας R. Συνδέουμε τα τρία σώματα με δύο ιδανικά οριζόντια ελατήρια σταθεράς k1 = 243 Ν/m και k2 = 140 N/m αντίστοιχα και αρκετά μεγάλου φυσικού μήκους. Το κάθε ένα άκρο του κάθε ελατηρίου συνδέεται με το κέντρο του δίσκου  και της σφαίρας έτσι ώστε ο δίσκος  και η σφαίρα να μπορούν να περιστρέφονται  χωρίς τριβές γύρω από το κέντρο τους.
Δίνουμε την χρονική στιγμή t = 0 στον δίσκο και στην σφαίρα κατάλληλες αρχικές ταχύτητες και γωνιακές ταχύτητες ώστε και τα δύο στερεά να κινηθούν προς τα δεξιά και συνεχώς τα δύο στερεά να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ο κύβος μένει συνεχώς ακίνητος ενώ η μέγιστη απομάκρυνση του κέντρου μάζας του δίσκου να είναι xcm,1 = 0,14 m και της σφαίρας xcm,2 = 0,243 m. Να βρεθούν:
α. Η εξίσωση απομάκρυνσης του κέντρου μάζας του κάθε στερεού σαν συνάρτηση του χρόνου
β. Η γραφική παράσταση της στατικής τριβής που δέχεται ο κύβος σε συνάρτηση του χρόνου
γ. Ο οριακός συντελεστής της στατικής τριβής έτσι ώστε το σύστημα να συνεχίζει την ταλάντωσή του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του I1 = 0,5MR2 και η ροπή αδράνειας σφαίρας ως προς το κέντρο μάζας της Ι2 = 0,4ΜR2 και για τις πράξεις g = 10 m/s2.
Θετική φορά να θεωρηθεί η αρχική φορά απομάκρυνσης


ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Πέμπτη, 20 Φεβρουαρίου 2014

Οι δύο ράβδοι

Λεπτή ράβδος μήκους 2ℓ προέρχεται από την συγκόλληση δύο ομογενών ράβδων ίδιου μήκους ℓ και κυκλικής διατομής αλλά από διαφορετικό υλικό.

Η ράβδος 1 έχει μάζα m 1 και η ράβδος 2 μάζα m2. Την ράβδο μπορούμε να την προσαρμόσουμε στην άρθρωση Α ή στην άρθρωση Γ και σε κάθε περίπτωση ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια σχοινιού που είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο Δ. Στην δεύτερη περίπτωση το σχοινί σχηματίζει με την ράβδο οξεία γωνία 30ο.

Α. Αν η τάση του νήματος είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις ποια η σχέση που συνδέει τις μάζες των δύο ράβδωνm1 και m2;

α. m2 = m1                               β. m2 = 3m1                 γ. m2 = 5m1

Β. Αν κόψουμε το σχοινί σε κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις, ποια η σχέση που συνδέει τις αρχικές γωνιακές επιταχύνσεις αγ,1 (πάνω σχήμα) και αγ,2 (κάτω σχήμα).

α. αγ,1 = 3αγ,2                            β. αγ,1 = 2/3 αγ,2                         γ.αγ,1 = 3/2 αγ,2

Γ. Για τα μέτρα των γωνιακών ταχυτήτων των ράβδων όταν βρεθούν στην κατακόρυφη θέση ισχύει:

α. ω1 < ω2                                β. ω1 = ω2                    γ. ω1 > ω2

Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

 

 

Κέρμα


Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο δάπεδο ισορροπεί κατακόρυφο ένα  λεπτό κέρμα. Με ένα απότομο χτύπημα δίνουμε στο κέρμα αρχική κατακόρυφη  γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0 = 4 rad/s ενώ ταυτόχρονα το κέντρο μάζας αποκτά οριζόντια ταχύτητα μέτρου υcm = 0,2 m/s όπως στο διπλανό σχήμα. Αν το κέρμα έχει μάζα Μ = 10 g και ακτίνα R = 1 cm να βρεθούν:
α. H ταχύτητα του κατώτερου και του ανώτερου σημείου του κέρματος
β. Η  ελάχιστη χημική ενέργεια που δόθηκε στο  κέρμα από τον πειραματιστή
γ. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των διαφόρων σημείων του κέρματος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκου που στρέφεται ως προς άξονα που ταυτίζεται με μία διάμετρο