Σάββατο, 30 Νοεμβρίου 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ 1

1. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που έχει τη διεύθυνση του άξονα xOx, δια­δίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ = 0,4 m. Στο S.I. η εξίσωση της ταλάντωσης του υλικού σημείου που βρίσκεται στην αρχή O(x = 0) του άξονα είναι της μορφής y = Αημ(ωt). Στο ακόλουθο διάγραμμα απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις των φάσεων της ταλάντωσης δύο υλικών σημείων Σ1 και Σ2 του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τον χρόνο. Η απόσταση d των τετμημένων των θέσεων των σημείων Σ1 και Σ2 είναι:
α. d = 0,6 m.                           β. d = 1,2 m.                            γ. d = 1,6 m.
Να επιλέξετε τη σωστή αιτιολογώντας την απάντηση σας.
 

Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος


Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,2∙ημ2π(t-2,5x+4,5) με tϵR και  t ≥ 2,5x-4,5   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m ≤ x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.
ή



Παρασκευή, 29 Νοεμβρίου 2013


Το δάκρυ της Μαρίας …για μια ιδιόμορφη 
    Περιοδική Κίνηση .



Ένα μονωμένο σύστημα και ολίγον από ΑΑΤ.


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δυο σώματα Σ1 και Σ2, με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=50Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,7m. Μετακινούμε το Σ1, μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει μήκος ℓ1=0,3m και σε μια στιγμή αφήνουμε τα σώματα να κινηθούν. Στο σώμα Σ2 έχει προσαρμοστεί ένα καρφάκι και μόλις περάσει στο οριζόντιο επίπεδο (2), όπου δεν είναι λείο, συγκρούεται με ένα ξύλινο σώμα Σ3, μάζας m3=4kg, το οποίο κινείται αντίθετα και το οποίο, τη στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα μέτρου υ3=0,5m/s. Κατά τη διάρκεια της κρούσης το καρφάκι καρφώνεται στο ξύλο, οπότε δημιουργείται συσσωμάτωμα, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται οι συντελεστές τριβής μεταξύ του επιπέδου (2) και του συσσωματώματος μ=μs=0,2, τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων και g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ1 και Σ2 ελάχιστα πριν την κρούση (να μην ληφθεί υπόψη η ανάπτυξη τριβής στο Σ2 κατά την είσοδό του στο (2) επίπεδο).
ii)  Ποια η απόσταση των σωμάτων Σ12 τη στιγμή της κρούσης;
iii)  Να υπολογιστεί η τριβή που θα ασκηθεί στο συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση.
iii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ1, τη στιγμή που θα αρχίσει η ολίσθηση του συσσωματώματος.
ή



Δευτέρα, 25 Νοεμβρίου 2013

Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς τα δεξιά, με συχνότητα 0,5 Ηz και στο σχήμα βλέπετε ένα στιγμιότυπο  του κύματος, κάποια στιγμή t0. Δίνονται οι αποστάσεις (ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΓΔ)=(ΔΕ)= d=1 m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σημείου Α είναι 0,4 m.
i) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρονικό διάστημα 2,5 s.
ii) Να βρεθεί η φάση των σημείων Α, Β, Γ, Δ και Ε τη στιγμή t0, καθώς και τη χρονική στιγμή t0+2,5 s.
iii) Αν το παραπάνω στιγμιότυπο δείχνει την εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t0=0, ενώ για να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, ορίζουμε ως αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Α, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iv) Ποια θα ήταν αντίστοιχα η εξίσωση του κύματος, αν αλλάζαμε την αρχή του άξονα και παίρναμε x=0, το σημείο Γ;
ή

Η ταλάντωση μιας μεμβράνης.

Όταν μπροστά από ένα μικρόφωνο πάλλεται μια ηχητική πηγή Π1, η μεμβράνη του μικροφώνου, μάζας 2g, εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης  x1=3∙ημ(20πt)  (mm). Αν ταυτόχρονα φέρουμε δίπλα και μια δεύτερη ηχητική πηγή Π2 και θέσουμε ταυτόχρονα σε λειτουργία και τις  δύο πηγές, τότε η μεμβράνη εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=4∙ ημ(20πt+3π/2)  (mm).
i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της μεμβράνης, αν αντί να πάλλονται και οι δύο, σιγήσει η πρώτη πηγή.
ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της μεμβράνης, όταν:
α) πάλλεται μόνο η πηγή Π1.
β) πάλλεται μόνο η πηγή Π2.
γ) πάλλονται και οι δύο πηγές.
iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μεμβράνης, στην περίπτωση που πάλλονται και οι δύο πηγές, τη χρονική στιγμή t1=1/30s.
ή


Κυριακή, 24 Νοεμβρίου 2013

Νόμοι του Newton και κύμα



Ας θεωρήσουμε μια χορδή τελείως εύκαμπτη, ομογενή με γραμμική πυκνότητα ρ.
Η μορφή του κύματος μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση της μορφής y(x) όπου y είναι η εγκάρσια μετατόπιση του σημείου x της χορδής από τη θέση ισορροπίας. Εφόσον όμως το κύμα διαδίδεται κατά μήκος της χορδής, η μετατόπιση του σημείου x θα μεταβάλλεται με το χρόνο t, θα είναι δηλαδή y=f(x,t).
Θεωρούμε μια στοιχειώδη περιοχή Δx της χορδής πάνω στην οποία ενεργούν οι δυνάμεις (τάσεις) Τ1και Τ2.
Αφού το μέσο (η χορδή) σύμφωνα με τον ορισμό του κύματος δε μεταφέρεται κατά τη διεύθυνση x, ισχύει από τον ........ συνέχεια

Σάββατο, 23 Νοεμβρίου 2013

ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑΤΑ


Από το θεώρημα Fourier στην προσέγγιση των διακροτημάτων... 

Συμβολή

Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=1,5m και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση στην επιφάνεια υγρού με εξίσωση
y=2∙10-2ημ(40πt) (S.I).
Τα εγκάρσια κύματα που δημιουργούνται στην επιφάνεια του υγρού διαδίδονται με ταχύτητα υ=10m/s και φτάνουν στο υλικό σημείο Μ που απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις r1=2m και r2=1m, αντίστοιχα. Τότε:

α) Τη χρονική στιγμή t=19/80s να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y για όλα τα σημεία της υπερβολής  στην οποία ανήκει το Μ και που βρίσκονται μεταξύ των Μ και Μ΄. Μ΄ είναι το σημείο στο οποίο τέμνει η υπερβολή στην οποία ανήκει το Μ το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2.

  β) Αν η αμέσως προηγούμενη υπερβολή με το ίδιο πλάτος ταλάντωσης τέμνει το Π1Π2 στο σημείο Ν΄, τότε να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y για όλα τα σημεία του Π1Π2 που βρίσκονται μεταξύ των Ν΄ και Μ΄ και για τη χρονική στιγμή t=19/80s.

Συνοπτική Λύση:

Αρμονικό κύμα με αρχική φάση -π

Κατά μήκος ενός άξονα x'Ox διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση, εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α-20cm και συχνότητας f=0,5Hz. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υδ=20cm/s. Τη χρονική στιγμή t0=0 το κύμα φτάνει στο σημείο Ο με συντεταγμένη x=0.  Για το σημείο Ο δίνεται ότι την t0=0 έχει απομάκρυνση ψ=0 και ταχύτητα υ<0.
i) Να δώσετε την εξίσωση του κύματος.
ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Μ με συντεταγμένη x=10cm σε συνάρτηση με το χρόνο.
iii) Να δώσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ με συντεταγμένη x=10cm σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων του θετικού ημιάξονα για τη χρονική στιγμή t1=2,5s σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων.
v) Να δώσετε το στιγμιότυπο του κύματος για τα σημεία του θετικού ημιάξονα τη χρονική στιγμή t1=2,5s.
vi) Να δώσετε το στιγμιότυπο του κύματος για τα σημεία του θετικού ημιάξονα τη χρονική στιγμή t2=2,75s.

Απάντηση
ή
αρχική φάση -π.docx


Παρασκευή, 22 Νοεμβρίου 2013

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.


Ένα σώμα μάζας 0,5kg κινείται με εξίσωση κίνησης:
x= 0,1∙ημ(20πt+5π/3) +  0,1∙ημ(22πt)   (S.Ι.)
i) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί μια περιοδική αλλά όχι αρμονική κίνηση, της οποίας να βρείτε τη συχνότητα.
ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t1 που το «πλάτος» μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t2 που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.
iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1=4/3s.
iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω χρονική στιγμή;
Δίνεται π2≈10.
ή

Μούφα λέιζερ

Στον ποδοσφαιρικό  αγώνα  μπαράζ  για το Mουντιάλ της  Βραζιλίας, μεταξύ της Ρουμανίας και της Ελλάδας την στιγμή που ο Μήτρογλου ήταν έτοιμος να σκοράρει ένας πονηρός Ρουμάνος φίλαθλος-φυσικός  προσπάθησε να «τυφλώσει» με  την βοήθεια ενός χειροποίητου «λέιζερ» τον Έλληνα σκόρερ. Το «λέιζερ» ήταν Ρουμάνικης κατασκευής και με βάση τον κατασκευαστή-χρήστη  του είχε τις παρακάτω εξισώσεις  για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο
Ε=30ημ2π(1015/3 t-107x/9)   και  B=10-7συν2π(1015/3 t-107x/9)   (SI)
α) Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν Η/Μ που διαδίδεται στο κενό;
β) Ποιες θα είναι οι εξισώσεις του ηλεκτρικού αλλά και του μαγνητικού πεδίου που θα μετρούσε αν μπορούσε ο Μήτρογλου αν υποθέσουμε ότι είναι αρκετά μακριά από τον Ρουμάνο φίλαθλο.
γ) Θα μπορούσε να «τυφλωθεί» ο Μήτρογλου ;


Τετάρτη, 20 Νοεμβρίου 2013

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.


Ένα σώμα μάζας 0,2kg κινείται παλινδρομικά γύρω από μια θέση Ο και η εξίσωση κίνησής του είναι:
x= 0,5∙συν(20t) + 0,53∙ημ(20t)   μονάδες στο S.Ι.
όπου x η απομάκρυνση από το σημείο Ο.
i) Ν’ αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1= π/12 s.
iii) Αν επιπλέον η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του. Μπορεί η παραπάνω κίνηση να μην είναι ΑΑΤ, αλλά κάποια άλλη κίνηση; Εξηγείστε.
ή

Δευτέρα, 18 Νοεμβρίου 2013

Ένα διαγώνισμα στις μηχανικές ταλαντώσεις 2013

ΘΕΜΑ Α: Α1) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σ(Σωστή) ή Λ(Λάθος)
1)   Η σταθερά D επαναφοράς σώματος, που ταλαντώνεται κρεμασμένο από ένα ελατήριο, είναι ανεξάρτητη της μάζας του .
2)   Η θέση ισορροπίας μιας Α.Α.Τ. είναι και θέση μεγιστοποίησης της επιτάχυνσής του.
3)   Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει Α.Α.Τ. είναι αντίθετες σε κάθε θέση.
4)   Στη διάρκεια μιας περιόδου Α.Α.Τ., η κινητική ενέργεια γίνεται διπλάσια της δυναμικής ενέργειας, 4 χρονικές στιγμές.
Στη θέση x=A/2   ισχύει ότι Κ=UΤ=Ε/2       
Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.