Πέμπτη, 31 Οκτωβρίου 2013

Ενέργεια , θέση , μετατόπιση και διάστημα σε απλή αρμονική ταλάντωση



Ένα σώμα μάζας  m = 2 kg, είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου,  και ηρεμεί πάνω οριζόντιο επίπεδο, με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος όπως φαίνεται στο σχήμα 1.
Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης  μεταξύ σώματος και οριζόντιου επιπέδου είναι μ =0,2.  
Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να μετακινήσουμε το σώμα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κατά d = 0,2 m πάνω στο οριζόντιο επίπεδο είναι Ε1 = 4,8J.
Στερεώνεται το ένα άκρο του ελατηρίου σε οροφή όπως φαίνεται στο σχήμα 2, και το σώμα ηρεμεί σε ισορροπία  ( x = 0 ) στο κάτω άκρο του . Στη θέση αυτή δέχεται  ενέργεια Ε2 =  (5/3) Ε1 , με αποτέλεσμα  να αρχίσει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση  κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου , χωρίς αρχική φάση.
A. Να υπολογίσετε:

Η συνέχεια ΕΔΩ

Δευτέρα, 28 Οκτωβρίου 2013

ΣΧΕΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ α-u ΣΕ A.A.T.... ΚΑΙ ΜΙΑ ΔΙΕΝΕΞΗ



...πρόκειται λοιπόν περί έλλειψης με κέντρο στην αρχή των αξόνων. Εδώ τώρα τίθεται ένα θέμα για το ποιος είναι ο μεγάλος άξονας...

ΧΑΣΙΜΟ ΕΠΑΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΠΑΛΙ ΕΠΑΦΗ

Σώμα Σ1 μάζας m1 = 1 kg έχει το ένα άκρο στερεωμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 400 N/m και το άλλο άκρο του βρίσκεται σε επαφή με σώμα Σ2 μάζας m2 = 3 kg. Το όλο σύστημα βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Συμπιέζουμε κατά Α0 = 0,2 m τα δύο σώματα όπως φαίνεται στο σχήμα και κατόπιν την χρονική στιγμή t0 = 0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Κάποια στιγμή η επαφή χάνεται και το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν το Σ1 ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά, το Σ2 συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ3, μάζας m3 = 5 kg. Το συσσωμάτωμα των Σ2 – Σ3 κινείται ομόρροπα με την αρχική φορά του Σ3 και συναντά το Σ1 την στιγμή που αυτό βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά μετά την χρονική στιγμή t0 = 0. Να βρείτε:
 

Κυριακή, 27 Οκτωβρίου 2013

Η περιπέτεια ενός σώματος, που κάνει πολλές απλές αρμονικές ταλαντώσεις



Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις,  και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Ένα σώμα Σ  βάρους w , είναι δεμένο στο  δεξιό  άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k ,  που έχει το άλλο του άκρο ακλόνητο.  Το σώμα αρχικά ηρεμεί σε ισορροπία  σε  μια  σανίδα ΑΒ  μήκους  ℓ πάνω στην οποία,  μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το σύστημα συγκρατείται με τη σανίδα οριζόντια, σε ύψος ℓ/2 από το  πάτωμα.
Η σανίδα , μπορεί να στρέφεται  γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το άκρο της Β ,  και την τέμνει κάθετα όπως φαίνεται στο σχήμα.  Αφήνουμε τη σανίδα να περιστραφεί πολύ αργά , μέχρι το αριστερό άκρο της να ακουμπήσει στο  πάτωμα χωρίς ταχύτητα.
Α. Η μέγιστη απόσταση που διανύει  το σώμα κατά μήκος της σανίδας,  από την αρχική του θέση μέχρι να σταματήσει στιγμιαία  είναι :

Η συνέχεια ΕΔΩ

Κυριακή, 20 Οκτωβρίου 2013

Μεγιστοποίηση Πλάτους Ταλάντωσης (μετά από ελαστική κρούση σε τυχαία θέση)



Τη χρονική στιγμή t=0 σώμα μάζας m1 συλλαμβάνεται να εκτελεί Α.Α.Τ αρχικής φάσης φ0 ενώ την ίδια χρονική στιγμή σώμα μάζας m2 βάλλεται εναντίον του πρώτου έτσι ώστε κάποια χρονική στιγμή να συγκρουστούν κεντρικά και ελαστικά.
Πως οι συνθήκες κρούσης επηρεάζουν το πλάτος της νέας ταλάντωσης και πιο συγκεκριμένα πότε αυτό αυξάνεται;...... ΚΛΙΚ ΕΔΩ >>>>>>

Σάββατο, 19 Οκτωβρίου 2013

Άλλη μια κρούση κατά τη διάρκεια ταλάντωσης.

Τα σώμα Β και Γ με μάζες m1=0,1kg και m2=2m1=0,2kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα οριζόντιων ελατηρίων με σταθερές k1=30Ν/m και k2=2k1= 60Ν/m αντίστοιχα, όπως στο σχήμα, όπου οι άξονες των δύο ελατηρίων συμπίπτουν. Τα σώματα που θεωρούνται υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων απέχουν κατά d=0,3m. Ασκώντας κατάλληλες δυνάμεις στα σώματα, συσπειρώνουμε κάθε ελατήριο κατά 0,3m και αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να εκτελέσουν ΑΑΤ. Μετά από λίγο τα σώματα συγκρούονται πλαστικά, οπότε το συσσωμάτωμα εκτελεί μια νέα ΑΑΤ με σταθερά D=k1+k2.
Ζητούνται:
i)   Η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σώματος πριν την κρούση.
ii)  Η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος.
iii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας (η ενέργεια που εμφανίζεται ως αύξηση της θερμικής ενέργειας των σωμάτων, συν ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης των σωμάτων, συν ενέργεια ήχου…), που οφείλεται στην κρούση.
ή

Σύνθεση δυο ταλαντώσεων και κρούση.



Σώμα μάζας m=1kg είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς K που αρχικά βρίσκεται στη θέση φυσικού του μήκους. Η μάζα m βρίσκεται σε επαφή με λεία οριζόντια επιφάνεια.
Απομακρύνουμε το σώμα από την αρχική του θέση κατά A1 και το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντώνεται.
α) Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε αρχή των χρόνων (t=0) και που τότε η μάζα m βρίσκεται στη θέση x1=+A1/2 και έχει υ1>0, αρχίζει να ταλαντώνεται και η λεία οριζόντια επιφάνεια πραγματοποιώντας Α.Α.Τ της ίδιας διεύθυνσης xx΄ γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με την ίδια συχνότητα ω και με πλάτος Α2=2Α1. Τότε η εξίσωση ταλάντωσης της μάζας m, γίνεται x=2ριζα3×ημ(10t+2π/3) (S.I). Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης της οριζόντιας επιφάνειας; Θεωρείστε πως για όλες τις ταλαντώσεις ισχύει η γενική εξίσωση x=A×ημ(ωt+φ).
β) Τη χρονική στιγμή t=s, η μάζα m συγκρούεται με σώμα μάζας m1=m που κινείται αντίθετα με ταχύτητα υ1=20m/s. Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση.  Ποια είναι τότε  η εξίσωση ταλάντωσης του συσσωματώματος μάζας m+m1;

Συνοπτική λύση:

Ταλάντωση με αέριο.

O κατακόρυφος κύλινδρος του διπλανού σχήματος περιέχει ποσότητα n=1/R mol ιδανικού αερίου θερμοκρασίας Τ=300K και πίεσης P=105N/m2. Ο κύλινδρος κλείνεται με ευκίνητο έμβολο μάζας Μ2=10Kg που ισορροπεί και με την βοήθεια κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς  Κ=1000N/m και φυσικού μήκους Lo=1,1m που είναι δεμένο και με το έμβολο αλλά και με το κάτω μέρος του δοχείου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Aπό ύψος Η=0,05m πάνω από τo κέντρο του ελαστικού εμβόλου  αφήνεται ελεύθερο   σημειακό σώμα  μάζας Μ1 =2,5Kg και τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Mετά την κρούση το σημειακό σώμα αφαιρείται από το σύστημα. Αν υποτεθεί ότι όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε λουτρό σταθερής  θερμοκρασίας Τ=300Κ  και το ότι το πλάτος της ταλάντωσης είναι πολύ μικρό σε σχέση με το μήκος του ελατηρίου στην κατάσταση ισορροπίας να βρεθούν:
α) Η αρχική συσπείρωση του ελατηρίου και  το εμβαδόν του εμβόλου
β) Η περίοδος της κίνησης του εμβόλου
γ) To πλάτος ταλάντωσης του εμβόλου.
Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση Patm=105Ν/m2  και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2  (130)1/2=11,4. Το έμβολο μπορεί να κινείται  χωρίς τριβές.

Τετάρτη, 16 Οκτωβρίου 2013

Δυο κινήσεις ενός δοκαριού, η μια μόνο ΑΑΤ

Ένα δοκάρι μήκους ℓ=1m βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=75N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ένα μικρό σώμα μάζας m=1kg βρίσκεται ακίνητο στο μέσο του δοκαριού. Ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F=20N, οπότε αυτό αρχίζει να κινείται πάνω στο δοκάρι, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Τη στιγμή που το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δℓ=0,1m, το σώμα εγκαταλείπει το δοκάρι και απομακρύνεται κατάλληλα. 
Α. Να υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το δοκάρι.
Β. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του δοκαριού την ίδια στιγμή.
Γ. Να υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση που θα υποστεί στη συνέχεια το ελατήριο.
Δ. Αν η μάζα του δοκαριού είναι Μ=1,35kg, σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που το σώμα θα εγκαταλείψει τη σανίδα το ελατήριο θα έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του για πρώτη φορά;
Δίνεται g=10m/s2.



Και από ΕΔΩ.
Και σε docx και σε doc

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Η ΓΕΝΕΣΗ, ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ

DOPPLER ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ (ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΗΧΟ)

Κυριακή, 13 Οκτωβρίου 2013

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 3kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k1= k=100Ν/m, όπως στο σχήμα, ευρισκόμενο σε ύψος h=0,7m  από το έδαφος. Ασκώντας πάνω του μια εξωτερική δύναμη F1, το μετακινούμε κατακόρυφα ανεβάζοντάς το κατά d=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, εκτελώντας ΑΑΤ. Θεωρείστε ότι το σώμα, αμελητέων διαστάσεων, έχει μηδενική δυναμική ενέργεια όταν βρίσκεται στο έδαφος και g=10m/s2.
i)   Να υπολογίσετε την αρχική μηχανική ενέργεια του  συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο καθώς και το έργο της εξωτερικής δύναμης F1 για την εκτροπή του σώματος. Πόση είναι τελικά η μηχανική ενέργεια του συστήματος και πόση η ενέργεια ταλάντωσης;
ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τοποθετούμε κάτω από το σώμα ένα δεύτερο κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k2=k και φυσικού μήκους ℓ0=0,9m, με τον άξονά του να ταυτίζεται με τον άξονα του πάνω ελατηρίου και αφήνουμε το σώμα να κινηθεί. Να αποδείξτε ότι μόλις το  σώμα έρθει σε επαφή με το κάτω ελατήριο, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση, η οποία είναι επίσης ΑΑΤ, υπολογίζοντας την ενέργεια της ταλάντωσης αυτής.
iii) Να υπολογίστε τη μηχανική ενέργεια του συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο στη διάρκεια της δεύτερης ταλάντωσης.
ή


Οι δύο αισθητήρες

Το σώμα του σχήματος κρέμεται σε ελατήριο. Το κρατάμε με το χέρι μας ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος και του δίνουμε ώθηση προς τα κάτω.
Με τη βοήθεια δύο αισθητήρων καταγράφουμε την δύναμη του ελατηρίου (ας θεωρηθεί αμελητέας μάζας) και τη θέση του σώματος.
Περνάμε τις μετρήσεις σε λογιστικό φύλλο και κάνουμε τη γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου συναρτήσει της θέσης του αναφορικά με τον αισθητήρα θέσης.
Η ένδειξη του αισθητήρα δύναμης είναι θετική όταν το σώμα δέχεται δύναμη από το ελατήριο προς τα πάνω.


Η γραφική παράσταση που κάναμε παρατίθεται. 



Σάββατο, 12 Οκτωβρίου 2013

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΣΩΜΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΤΡΙΒΗ

Σανίδα μάζας M=4kg βρίσκεται πάνω σε δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβές με συντελεστή οριακής τριβής μορ.=0,8. Πάνω σ’ αυτό ισορροπεί άλλο σώμα μάζας m=1kg, το οποίο είναι δεμένο με ελατήριο σταθεράς  k=100N/m και φυσικού μήκους L0=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε προεξοχή του σώματος Μ στο άκρο του. Μεταξύ των σωμάτων δεν υπάρχει τριβή. Tο c.m. του σώματος Μ  και η θέση Φ.Μ. του ελατηρίου βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο.
Δίνεται g=10m/s2.
1.      Ποια η μέγιστη τιμή του d ώστε η σανίδα να μην ολισθήσει στο δάπεδο.
2.      Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος θεωρώντας το πλάτος ίσο με dmax και θετική φορά προς τα δεξιά.
3.      Πόση είναι η στατική τριβή τη στιγμή t1 που το σώμα m έχει διανύσει απόσταση 1,5dmax ; Ποια η χρονική στιγμή t1 Να κάνετε γραφική παράσταση της στατικής τριβής σε συνάρτηση της απομάκρυνσης x.
4.      Επαναλαμβάνουμε τοποθετώντας τη σανίδα σε επιφάνεια με την οποία δεν παρουσιάζει τριβή. Αφήνουμε το σώμα m να κινηθεί τη χρονική στιγμή t=0 από τη θέση που έχουμε συσπειρώσει το ελατήριο κατά dmax. Πόση είναι η ταχύτητά του όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος; Ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό; Δίνεται ότι, αν ένα ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους L0, το κόψουμε σε δύο τμήματα μηκών L1 και L2 και σταθερών k1 , k2 αντίστοιχα, τότε ισχύει: k1L1=k2L2=kL0

Παρασκευή, 11 Οκτωβρίου 2013

Γ.Α.Τ. ή όχι;

Σημειακό σώμα μάζας m=2kg ισορροπεί με την βοήθεια δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
Τα ελατήρια έχουν σταθερές Κ1= Κ2=100Ν/m και βρίσκονται σε επαφή με το σημειακό σώμα ενώ είναι στερεωμένα σε δύο κατακόρυφους τοίχους που απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=1m.To φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου είναι  L1=L2=0,6m.Την χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σημειακό σώμα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου u0  προς τα δεξιά. Να βρεθούν:
α) Η μέγιστη ταχύτητα u0 για την οποία το σώμα εκτελεί γ.α.τ.
β) Η μέγιστη απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αν η αρχική ταχύτητα είχε μέτρο u0=2m/s.
γ) Η  ποιοτική γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας του συστήματος όταν η αρχική ταχύτητα  ήταν u0=2m/s.
Δίνεται (10)1/2=3,16  (2)1/2=1,41 όταν ημ φ=0,63  φ=π/9

Πέμπτη, 10 Οκτωβρίου 2013

Μια ταλάντωση με κρούση. Ορμή και ενέργειες.

Το σώμα Σ μάζας m1 ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα µάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά µε το σώμα Β, μάζας m2 που έπεφτε ελεύθερα από ύψος h,  και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.
i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:
α)  Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έµεινε η ίδια.
β)  Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.
γ) Η ορμή του συστήματος στην οριζόντια διεύθυνση, ελάχιστα πριν την κρούση, είναι ίση με την ορμή του ελάχιστα µετά την κρούση.
δ) Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε.
ε) Η ενέργεια της ταλάντωσης μειώθηκε.
ii) Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση, σε συνάρτηση με το ύψος h. Πότε η απώλεια αυτή είναι ελάχιστη;
iii) Αν η κρούση δεν πραγματοποιηθεί στη θέση ισορροπίας, αλλά σε απομάκρυνση x, να βρεθεί η συνθήκη για την ελάχιστη μείωση της ενέργειας ταλάντωσης.
ή

Τετάρτη, 9 Οκτωβρίου 2013

Το φρενάρισμα ενός κυλίνδρου.

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) ένας βαρύς κύλινδρος μάζας Μ=100kg και ακτίνας R=0,4m με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ0cm=6m/s. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε  τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ασκώντας, στο άκρο του Α, τη στιγμή t=0, μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, τον ακινητοποιούμε, μετά από λίγο. Το «φρενάρισμα» αυτό διαρκεί χρονικό διάστημα Δt=10s, στη διάρκεια του οποίου ο κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
Να βρεθούν:
i) Η επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου και η απόσταση που διανύει, μέχρι να σταματήσει.
ii) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, καθώς και η τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος.
iii) Η ισχύς της δύναμης F και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (μέτρο και κατεύθυνση) του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, τη χρονική στιγμή t2=5s
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm= ½ ΜR2 .
ή



Τρίτη, 8 Οκτωβρίου 2013

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΖΥΓΑΡΙΑ ΜΠΑΝΙΟΥ

Άνθρωπος μάζας m=100kg είναι πάνω σε ζυγαριά μπάνιου. Τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται αρμονικά πάνω-κάτω με τη βοήθεια των μυών των ποδιών του, ξεκινώντας προς τα πάνω. Τη χρονική στιγμή t=2π s έχει πραγματοποιήσει 10 πλήρεις ταλαντώσεις. Παρατηρεί ότι η μέγιστη ένδειξη της ζυγαριάς είναι 110kg  και η ελάχιστη 90kg.
Δίνεται g=10m/s2. Να υπολογίσετε:
1.  Την σταθερά D των μυών των ποδιών του .
2.  Το πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας του σώματός του.
Κάποια στιγμή σταματά και επαναλαμβάνει με τη μέγιστη δυνατή επιτάχυνση του κέντρου μάζας, του κάνοντας και πάλι Α.Α.Τ. Το πλάτος ταλάντωσης είναι τότε Α=10cm.
3.  Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη ένδειξη της ζυγαριάς.
4.  Πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της.  Δίνεται ότι ημ2φ=2ημφσυνφ.

Πλαστική κρούση σε οριζόντιο ελατήριο

Τα σώματα (Α) και (Β) του σχήματος που έχουν μάζες mA=2π/3m και mB=m βρίσκονται ακίνητα πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος και απέχουν απόσταση d. Τo σώμα (Β) είναι δεμένο με το ελατήριο του σχήματος το οποίο βρίσκεται στη Θ.Φ.Μ. του. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σώμα (Α) με ταχύτητα μέτρου v1=30/π m/s ενώ στο σώμα (Β) του δίνουμε ταχύτητα μέτρου v2=40m/s και στη συνέχεια εκτελεί ταλάντωση. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά σε ένα σημείο Λ (αριστερά της Θ.Φ.Μ.) τη χρονική στιγμή t1 = 2π/15s, έχοντας αντίθετες ταχύτητες. Το σώμα Β στη θέση Λ έχει ταχύτητα μέτρου υ′2 και ισχύει η σχέση U = 3K, όπου U η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του και Κ η κινητική του ενέργεια. Να βρεθούν:
α) To μέτρο της ταχύτητας v2΄ του σώματος Β πριν την κρούση με το σώμα Α.
β) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή που πρέπει να έχει η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Β, ώστε να συγκρουστεί με το σώμα Α στη θέση Λ.
γ) Την αρχική απόσταση d των δύο σωμάτων.
δ) Πόσο θα απέχει από τη θέση Λ το συσσωμάτωμα, τη στιγμή που σταματάει  στιγμιαία για πρώτη φορά μετά την δημιουργία του.

Δίνεται ως θετική φορά, η φορά προς τα δεξιά και √3=1,7.

Κυριακή, 6 Οκτωβρίου 2013

Ένα κατακόρυφο ελατήριο που είναι στη μόδα!

Πάνω σε ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=200 Ν/m  έχουμε στερεώσει ένα  σημειακό  ελαστικό σώμα μάζας  m1=1 kg.
Πάνω στο σώμα μάζας m1 τοποθετούμε χωρίς να προσδένουμε δεύτερο ελαστικό σημειακό σώμα μάζας m2= 1 kg. Πάνω στη  ίδια κατακόρυφο του ελατηρίου και από ύψος Η=0,45  m πάνω από το σώμα μάζας m2 αφήνουμε  ελεύθερο τρίτο ελαστικό σώμα μάζας m3=1  kg.Τη στιγμή που η ταχύτητα του σώματος με μάζα m3 μηδενίζεται αφαιρούμε  το σώμα αυτό.
α)Ποιες οι  ταχύτητες  όλων των σωμάτων μετά την ελαστική κρούση.
β)Πόσες κρούσεις θα γίνουν συνολικά;
γ)Ποιο το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα μάζας m2.
Δίνεται το g=10m/s2.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ξανά)


Στη διάταξη του σχήματος δίνονται η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου K=100N/m και ότι η μάζα του σώματος Σ είναι m=4Kg.Η τροχαλία θεωρείται αβαρής.
Το χέρι μας ασκεί περιοδική δύναμη F, και το σώμα Σ  εκτελεί εξαναγκασμένη  αρμονική ταλάντωση συχνότητας f1=4/2πHz και πλάτους Α=4,4cm χωρίς αρχική φάση. Το σώμα κινούμενο δέχεται δύναμη αντίστασης Fαντ= -b×υ με σταθερά απόσβεσης b=0,4Kg×s-1.
α) Να γράψετε τις σχέσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ) Να υπολογίσετε τη δύναμη του διεγέρτη τη χρονική στιγμή t=π/12s, καθώς και το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή.
δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο όταν έχουμε συντονισμό και να υπολογίσετε το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας τη στιγμή t=π/15 s.
Συνοπτική λύση: