Πέμπτη, 30 Αυγούστου 2012

Γραφικές παραστάσεις με αρχική φάση


Με αφορμή μια παλιότερη ανάρτηση του Κωστα Παρασύρη παραθέτω μια εργασια με γραφικές παραστάσεις με αρχική φάση.
-----------------------------------------
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να γίνει η γραφική παράσταση της της απομάκρυσης συναρτήσει του χρόνου της απλής αρμονικής ταλάντωσης υλικού σημείου που περιγράφεται απο την εξίσωση απομάκρυνσης x=Aημ(ωt+).
Βήμα 1:  Σχεδιάζουμε το στρεφόμενο της απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή
                 t=0. Βρίσκουμε την αρχική θέση του σώματος ως εξής:
Με βάση το στρεφόμενο και με τη βοήθεια του σχεδιάζουμε τους άξονες. Παρατηρούμε αν η προ-                βολή του στρεφόμενου «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει». Την ίδια ακριβώς πορεία θα ακολουθήσει και η γραφική παράσταση.
 

Τρίτη, 28 Αυγούστου 2012

40. Ταλάντωση και «κόλλα»



Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος έχουν μάζες Μ=3Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Κολλάμε τα δυο σώματα, με μια κόλλα που ασκεί σταθερή ελκτική δύναμη F=20N. Το Σ1 είναι δεμένο στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. Μετακινούμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί επιπλέον κατά AL=0,5m και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα. Να βρείτε:
α) Το ελάχιστο πλάτος ταλάντωσης Αmin, για το οποίο θα αποχωριστεί το Σ2 από το Σ1. Σε ποια θέση αποχωρίζονται τα δυο σώματα; Πόσο είναι το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή του αποχωρισμού;
β) πως μεταβάλλεται με το χρόνο και μέχρι να αποχωριστούν τα Σ1 και Σ2, η κάθετη αντίδραση ανάμεσα στις δυο μάζες, αν για t=0 είναι x=0 και υ>0,
γ) πόση είναι η κάθετη αντίδραση ανάμεσα στις δυο επιφάνειες για x= -Α/2;
δ) πως μεταβάλλεται με το χρόνο η επιτάχυνση του Σ2;
ε) την κινητική ενέργεια του Σ2 αμέσως μετά τον αποχωρισμό καθώς και την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1 αφού αποχωριστεί από το Σ2,
στ) αν θέλουμε τα σώματα να αποχωριστούν στο μισό της απομάκρυνσης που βρήκαμε στο ερώτημα (α) τότε τι τιμή πρέπει να έχει η σταθερά K, του ελατηρίου;
Αν ω και ω΄ είναι οι γωνιακές συχνότητες των Σ12 στο ερώτημα (α) και στο ερώτημα (στ), να βρείτε το λόγο .
Δίνεται g=10m/s2 .

Συνοπτική λύση:

Δευτέρα, 27 Αυγούστου 2012

Κυριακή, 26 Αυγούστου 2012

39. ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ-ΚΥΛΙΣΗ- ΟΛΙΣΘΗΣΗ



Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος αρχικά ισορροπούν.
Το Σ1 έχει μάζα Μ=2Kg και βρίσκεται πάνω στο Σ2. Το επίπεδο επαφής των δυο σωμάτων είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ=0,5. Το Σ2 βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ακόμη το Σ2 αποτελείται από τέσσερις τροχούς μάζας m=1Kg και ακτίνας r ο καθένας και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=800N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συνολική μάζα του Σ2 θεωρούμε ότι είναι όση η μάζα των τεσσάρων τροχών του. Κάποια στιγμή και ενώ το σύστημα των δυο σωμάτων ισορροπεί, το απομακρύνουμε κατά Δℓ και το αφήνουμε ελεύθερο. Θεωρούμε ότι ο κάθε τροχός του Σ2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
α) Να αποδείξετε ότι για το σύστημα των δυο μαζών έχουμε  α.α.τ.
β) Αν θέλουμε τα δυο σώματα να ταλαντώνονται χωρίς να παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ τους τότε ποιο είναι το μεγαλύτερο πλάτος της ταλάντωσης;
γ) Για το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα να γράψετε την εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος, αν για t=0 το σύστημα των Σ1 και Σ2 βρίσκεται στη θέση x=+A/2 από τη θέση ισορροπίας του και κινείται με αρνητική ταχύτητα.
δ) Αν η ακτίνα του κάθε τροχού είναι r=2cm, τότε πως μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κάθε τροχού;
ε) Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο t και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.
Δίνεται g=10m/s2  και ότι η ροπή αδράνειας του κάθε τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=0,5×m×r2.

Συνοπτική Λύση:



38. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ



Ένα σώμα μάζας m=1Kg ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή εξασκούμε στο σώμα μια σταθερή δύναμη F=20 Ν και με φορά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το ελατήριο επιμηκυνθεί μέγιστα κατά Δℓ=0,4m από τη Θ.Φ.Μ καταργούμε τη δύναμη F.
Μόλις πάψει να εξασκείται η δύναμη (t=0) το σύστημα πραγματοποιεί α.α.τ.
α) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης.
β) Να υπολογίσετε την προσφερόμενη ενέργεια μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης F και μέχρι το σώμα να επιμηκυνθεί κατά Δℓ, καθώς και το έργο της δύναμης του ελατηρίου. Να υπολογίσετε τότε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης.
γ) Να γράψετε τις εξισώσεις x(t) και υ(t) της α.α.τ που πραγματοποιεί το σώμα μόλις καταργήσουμε τη δύναμη F.
δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μάζας m, καθώς και το ρυθμό μεταβολής της ορμής της τη χρονική στιγμή t=s.
ε) Όταν ακόμη ασκούμε τη δύναμη F, να υπολογίσετε την ταχύτητα της μάζας m, τη στιγμή που x= Δℓ/2 από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.
στ) Αν καταργήσουμε την εξωτερική δύναμη F, τη στιγμή που η μάζα m, έχει μετατοπιστεί κατά x=x1=Δℓ/2 από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, τότε πόση είναι η προσφερόμενη ενέργεια στο σύστημα από τη δύναμη F και ποια είναι η ενέργεια της καινούργιας ταλάντωσης; Ακόμη να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και την κινητική ενέργεια του σώματος m, εκείνη τη στιγμή. Τι παρατηρείτε;
ζ) Αν δεν καταργήσουμε τη δύναμη F, τότε να δείξετε ότι το σώμα πραγματοποιεί α.α.τ και να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης x(t) που πραγματοποιεί.
Θεωρείστε την προς τα δεξιά φορά θετική.


Λύση:


Πέμπτη, 16 Αυγούστου 2012

Ροπή αδράνειας ομογενούς σφαιρικού φλοιού.


Έστω ένας λεπτός ομογενής σφαιρικός φλοιός ακτίνας R και μάζας Μ. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειάς του ως προς μια διάμετρό του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας, ως προς μια διάμετρό της Ι=2/5 ΜR2

ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΕΣ ΣΕ ΕΠΑΦΗ

Δύο σφαίρες ίδιας ακτίνας R και ίδιας πυκνότητας ρ, συγκρατούνται σε ισορροπία επί κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα δύο σώματα των οποίων οι επιφάνειες είναι λείες, βρίσκονται αρχικά σε επαφή. Η άνω σφαίρα είναι πλήρης και έχει μάζα m2 ενώ η κάτω είναι κοίλη με εσωτερική ακτίνα R/2.



Αν την χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ταυτόχρονα ελεύθερες τις δυο σφαίρες και κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν: 
1) να προσδιορίστε την ροπή αδράνειας της κοίλης σφαίρας. 
2) να δείξετε ότι βρίσκονται διαρκώς σε επαφή. 
3) να προσδιορίσετε την κοινή τους επιτάχυνση. 
4) να προσδιορίσετε τη μεταξύ τους δύναμη. 
5) να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής (μ) 
Δίνονται: Ic(σφαίρας) =(2/5)MR^2 ,g

Κυριακή, 12 Αυγούστου 2012

Κλείσιμο / άνοιγμα διακόπτη σε κύκλωμα με πυκνωτή ή πηνίο


Το άνοιγμα ή το κλείσιμο διακόπτη σε ένα κύκλωμα αποτελεί μια τροποποίηση στη συνδεσμολογία των εξαρτημάτων του, με αποτέλεσμα να προκαλούνται μεταβολές στις εντάσεις των ρευμάτων και στις διαφορές δυναμικού στα άκρα των στοιχείων του κυκλώματος.
Ανάλογα με το είδος και το συνδυασμό των στοιχείων (πηγές, αντιστάσεις, πυκνωτές, πηνία) οι μεταβολές αυτές μπορεί να είναι αρκετά γρήγορες ώστε να θεωρούνται ακαριαίες, ή μπορεί να απαιτείται κάποιο όχι ασήμαντο χρονικό διάστημα μέχρι την ολοκλήρωση της μεταβατικής κατάστασης.
Οι χρονικές καθυστερήσεις οφείλονται...
 
 ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Πέμπτη, 9 Αυγούστου 2012

37. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ένα σώμα μάζας m=4Kg ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=80Ν/m πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=300. Τη χρονική στιγμή t=0 εξασκούμε στο σώμα μια μεταβλητή δύναμη F=40-20x (S.I) όπου x είναι η απομάκρυνση  από την αρχική θέση ισορροπίας της μάζας m και με φορά προς τα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα πραγματοποιεί α.α.τ,
β) Να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ, και να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης.
γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της μεταβλητής δύναμης F(t).
δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με την απόσταση από την αρχική θέση ισορροπίας της μάζας m.
ε) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μάζας m, τη χρονική στιγμή t= π/20 s.
στ) Αν τη στιγμή που η μάζα m, μετατοπιστεί κατά +Α από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης καταργηθεί η εξωτερική δύναμη F, τότε πόση είναι η προσφερόμενη ενέργεια στο σύστημα από τη δύναμη F;
Θεωρείστε την προς τα πάνω φορά θετική. Δίνεται g=10m/s2

Λύση: