Δευτέρα, 30 Απριλίου 2012

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

23. Σύστημα τροχαλιών με ιμάντα

Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από μια διπλή και από μια απλή τροχαλία οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με ιμάντα αμελητέας μάζας όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διπλή τροχαλία αποτελείται από δυο τροχαλίες που έχουν κοινό άξονα. Η μικρότερη από αυτές έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r=0,2m, ενώ η πιο μεγάλη έχει μάζα M=2Kg και ακτίνα R=0,4m. Η απλή τροχαλία έχει μάζα  m=1Kg και ακτίνα r=0,2m. Γύρω από τη μικρότερη τροχαλία της διπλής τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m1= =Kg.
Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο.
α) Αν το νήμα ξετυλιχθεί κατά L=1m, τότε να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα ω1 της διπλής τροχαλίας
β) Ποιος είναι ο ρυθμός προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή και
γ) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.
Η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι= 1/2m×r2. Δίνεται g=10m/s2.

Συνοπτική λύση:

TΡΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ… ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ




TΡΕΙΣ  ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ… ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ
Πρόταση 1η : Οι  τροχιές μας δείχνουν την κρούση
Πρόταση 2η : Mια σημαντική εφαρμογή της κρούσης στην Πυρηνική  Φυσική
Πρόταση 3η : Κρούση πολλών σωματιδίων…
  
   AΠΑΝΤΗΣΗ

Κυριακή, 29 Απριλίου 2012

Επαναληπτική άσκηση: Ταλάντωση-Κρούση-Στερεό


Σώμα Σ μάζας m=1kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα με τη βοήθεια νήματος ισορροπεί και η τάση του νήματος έχει μέτρο 200Ν. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα αρχίζει να κινείται. . Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου συγκρούεται ελαστικά με το κάτω άκρο Κ λεπτής και ομογενούς ράβδου, το οποίο βρίσκεται στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Η ράβδος μάζας Μ=2kg και μήκους L=1,2m έχει το άλλο άκρο της Ο στερεωμένο σε άρθρωση και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές.
Να υπολογίσετε:
α) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει Α.Α.Τ  και να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης και την γωνιακή συχνότητα.
β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση
γ) Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.
Για την ράβδο αμέσως μετά την κρούση, να υπολογίσετε:
δ) το μέτρο της δύναμης από τον άξονα περιστροφής αμέσως μετά την κρούση
ε) την μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής της ταχύτητας
στ) Να ελέγξετε εάν εκτελεί ανακύκλωση
Για την ταλάντωση του σώματος μετά την κρούση:
ζ) να γράψετε την χρονική εξίσωση απομάκρυνσης θεωρώντας ως t=0 τη στιγμή της κρούσης και  θετική την φορά προς τα δεξιά.
η) Για την χρονική στιγμή  Τ/12,όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης αμέσως μετά την κρούση, να υπολογίσετε:
i) την στροφορμή του σώματος Σ κατά τον άξονα περιστροφής της ράβδου
ii) τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ κατά τον άξονα περιστροφής της ράβδου
iii) τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ελατηρίου
θ) την τιμή του λόγου m/M, ώστε να μεταφερθεί στην ράβδο το 100% της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ πριν την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο Ο: Ι(Ο)=(1/3)ML2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.

Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;


- Ένα βλήμα σφηνώνεται σε ένα ξύλο που είναι πακτωμένο στο έδαφος.
   Για την κρούση αυτή ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.), για το σύστημα βλήμα-ξύλο;
- Όχι κύριε. Το σύστημα των σωμάτων δε είναι μονωμένο.
- Και λοιπόν;
- Δεν ισχύει η Α.Δ.Ο.
- Μα, τι λέει η Α.Δ.Ο. Γιάννη;
Υπάρχουν μερικά πράγματα που περνάμε συνήθως ελαφρά. Έχει δίκιο ο Γιάννης στην απάντησή του; Και αν έπεφτε ένα τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο κάθε Γιάννης;
Είναι η ίδια απάντηση, με αυτήν που θα έπρεπε να δώσει στο ερώτημα:
Η ορμή του συστήματος βλήμα-ξύλο παραμένει σταθερή κατά την κρούση;
Συνήθως θεωρούμε ότι οι δυο ερωτήσεις είναι ταυτόσημες. Και όμως δεν είναι!!!
Η Α.Δ.Ο. ισχύει πάντα. Τι λέει; Ότι αν ένα σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο η ορμή του παραμένει σταθερή. Και τι δεν λέει, αλλά υπονοεί; Ότι αν το σύστημα δεν είναι μονωμένο η ορμή του δεν παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση, ας πούμε του παραπάνω παραδείγματος, παραβιάζεται η αρχή; Όχι βέβαια. Το σύστημα δεν είναι μονωμένο και η συνολική ορμή του συστήματος δεν παραμένει σταθερή. Δεν διατηρείται.
Μα, αυτό μας λέει και η Α.Δ.Ο.!!!
----------------------------
Αλλά με την ευκαιρία ας εξετάσουμε μερικές περιπτώσεις διατήρησης ή μη (ορμής-στροφορμής) σε περιπτώσεις κρούσεων, δίνοντας κάποιες εφαρμογές.
Εφαρμογή 1:
Ένα σώμα Σ μάζας Μ κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος. Ένα βλήμα μάζας m συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ. Για την παραπάνω κρούση:
i)   Η ορμή του βλήματος διατηρείται.
ii)  Η ορμή του συστήματος διατηρείται.
iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο ανάρτησης Ο διατηρείται.
iv) Η συνολική στροφορμή ως προς ένα τυχαίο σημείο Α, διατηρείται.


Η συνέχεια σε pdf.


Παρασκευή, 27 Απριλίου 2012

Βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα και την περίοδο


Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά   k = 300 Ν/m.
Η μάζα του ομογενούς κυλίνδρου είναι   2 kg.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι  10 m/s2.
Ο κύλινδρος αφήνεται  να κινηθεί από μια θέση στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.
Ο συντελεστής τριβής είναι τόσος ώστε να εξασφαλίζεται κύλιση χωρίς ολίσθηση.
  1. Ποια είναι η μεγαλύτερη ταχύτητα που αποκτά;
  2. Ποια η μεγαλύτερη μετατόπισή του από την θέση που αφέθηκε;
  3. Δεχόμενοι ότι κάνει αρμονική ταλάντωση υπολογίσατε την περίοδό της.

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται δύο εγκάρσια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα φτάνουν τη στιγμή t=0, σε ένα σημείο του μέσου Σ, στη θέση xΣ=4m. Το σημείο αυτό εξαιτίας κάθε κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2·ημπt  (S.Ι.). Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=2m/s, ζητούνται:
i)   Η περίοδος και το μήκος κύματος κάθε κύματος.
ii)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.
iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου που προκύπτει από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.
iv) Πόσοι δεσμοί έχουν σχηματιστεί πάνω στο μέσο τη χρονική στιγμή t1=1,5s;
v)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου την στιγμή t1.
vi) Δύο υλικά σημεία Μ και Ν βρίσκονται δεξιά και αριστερά της θέσης x=7m και έχουν ίσες απομακρύνσεις, από τη θέση ισορροπίας τους. Το σημείο Μ είναι το πλησιέστερο στη θέση x=7m σημείο με την παραπάνω ιδιότητα. Ποιο υλικό σημείο τη στιγμή t1 έχει:
α) Μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης.
β) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης.
Απάντηση:

Πέμπτη, 26 Απριλίου 2012

Δυο σφαίρες σε επαφή και ταλάντωση


Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο μη λείες σφαίρες ίσης μάζας Μ=1Kg και ίδιας ακτίνας R=0,1m. H μία σφαίρα είναι συνδεδεμένη με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=70N/m που δεν εμποδίζει την περιστροφή της σφαίρας και η δύναμη του ελατηρίου ασκείται στο κέντρο της σφαίρας.
Συσπειρώνουμε το ελατήριο σε σχέση με το φυσικό του μήκος κατά x=0,2m  και φέρνουμε σε επαφή τις δύο σφαίρες. Την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα. Οι σφαίρες συνεχώς κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και δεν αναπηδάνε.
Α) Ποια χρονική στιγμή θα χαθεί η επαφή των δύο σφαιρών;
B) Να βρεθεί το τελικό πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας της σφαίρας που είναι δεμένη στο ελατήριο.
Γ) Να βρεθεί η συνάρτηση της  απόστασης των δύο κέντρων μάζας των δύο σφαιρών σε σχέση με το χρόνο.
Ιcm=0,4 MR2

Τετάρτη, 25 Απριλίου 2012

Προσπαθώντας να ανασηκώσουμε μια ράβδο.


Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους 8m και μάζας 6kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μέσω ενός νήματος, το οποίο έχουμε δέσει στο άκρο της Β, ασκούμε πάνω της μια κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i)  Αν το μέτρο της δύναμης είναι F=20Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος ισορροπεί. Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της, βρίσκοντας και την ροπή καθεμιάς, ως προς το μέσον της Ο.
ii) Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F=30Ν. Σχεδιάστε ξανά τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο.
iii) Αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=32Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος αρχίζει να ανασηκώνεται από το έδαφος.
 α) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου της Ο της ράβδου.
 β) Σε μια στιγμή t1 το άκρο Β της ράβδου, βρίσκεται σε ύψος h=4m από το έδαφος, ενώ το Α σε επαφή με το έδαφος. Για την θέση αυτή να υπολογίσετε την ταχύτητα του Ο και την ταχύτητα  του άκρου Α της ράβδου.
γ) Πόσο έχει μετατοπιστεί το άκρο Α της ράβδου από 0-t1;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσο της Ι= Μℓ2/12 και g=10m/s2.

Τρίτη, 24 Απριλίου 2012

Βρείτε την τάση του νήματος και την τριβή


Θα χρησιμοποιήσουμε το γιο-γιο του σχήματος.
Η μικρή ακτίνα είναι και η μεγάλη R.
Τυλίγουμε νήμα μη εκτατό αμελητέας μάζας και επιτυγχάνουμε , όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα να κινείται με σταθερή ταχύτητα χωρίς να ολισθαίνει.
Πόση είναι η δύναμη και πόση η Τ ;

Δευτέρα, 23 Απριλίου 2012

22.Κύματα...

Σαν τον Πανελλήνιο Διαγωνισμό Φυσικής 2012
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t΄=0,3s αρμονικού κύματος πλάτους Α=10cm, και περιόδου Τ=0,4s, που διαδίδεται στην αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν του ημιάξονα Οx με ταχύτητα υ=10m/s.
α. Προσδιορίστε το σημείο Κ της ευθείας x’x που αρχίζει να ταλαντεύεται τη χρονική στιγμή t=0.
β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο του σημείου 0, y(0)=f(t), και να την παραστήσετε γραφικά.
γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση του σημείου Μ με xM=-3m.
δ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t΄΄=0,5s.

Λύση:

Μη μετωπική πλαστική κρούση και ενέργειες.


Το σώμα Α, μάζας m1=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σε επαφή με το σώμα Β, μάζας m2=0,4kg που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Ο. Στη θέση αυτή δεν ασκείται δύναμη μεταξύ των δύο σωμάτων, ενώ το ελατήριο, σταθεράς k=40Ν/m, έχει μήκος 0,8m. Ανεβάζουμε το Α σώμα, κατακόρυφα κατά h=1/2π m και μετακινούμε το σώμα Β, προς τα αριστερά, κατά d. Σε μια στιγμή αφήνουμε το σώμα Α ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα εκτοξεύουμε με κατάλληλη ταχύτητα υ0, το Β σώμα, προς την αρχική του θέση Ο. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά φτάνοντας στο Ο και κατόπιν το  συσσωμάτωμα συνεχίζει οριζόντια, φτάνοντας μέχρι το σημείο Ρ, σε απόσταση (ΟΡ)=0,6m, όπου και σταματά στιγμιαία, πριν  κινηθεί ξανά προς το Ο. Τα δύο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ενώ π2≈10 και g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστεί η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
ii)   Ποια η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος Β και από ποια απόσταση d είχε εκτοξευθεί το Β σώμα;
iii)  Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Α που οφείλεται στην κρούση.
iv)  Αν είχαμε ανεβάσει το Α σώμα κατά h΄=2h= 1/π, πόσο θα έπρεπε να γινόταν η αρχική ταχύτητα του Β σώματος, ώστε από την ίδια απόσταση d, να είχαμε ξανά παρόμοια κρούση;

Κυριακή, 22 Απριλίου 2012

Eπαναληπτική άσκηση στο στάσιμο κύμα


Μια ομογενής και λεπτή χορδή σταθερού πάχους με σταθερά άκρα διεγείρεται οπότε δημιουργείται πάνω της στάσιμο κύμα με 4 δεσμούς (εκτός των δύο άκρων). Την t=0 που φαίνεται στο διπλανό στιγμιότυπο η κινητική ενέργεια κάθε ταλαντούμενου σημείου της χορδής ισούται με τα ¾ της ολικής ενέργειας ταλάντωσής του, ενώ μετά από χρονικό διάστημα Δt=1/30s η κινητική ενέργεια του κάθε σημείου μηδενίζεται για πρώτη φορά. Αν το μήκος της χορδής είναι L=1m να υπολογίσετε:
α) την απόσταση ενός δεσμού από την μεθεπόμενη κοιλία
β) το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών
γ) την απόσταση ενός δεσμού από την μεθεπόμενη κοιλία όταν τα σημεία της χορδής που ταλαντώνονται έχουν μηδενική κινητική ενέργεια
δ) την συχνότητα με την οποία ευθυγραμμίζονται με τον ημιάξονα Οx τα σημεία της χορδής.
Θεωρώντας ως x=0 τη θέση της 1ης κοιλίας (από το αριστερό άκρο της χορδής):
ε) να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος
στ) η διαφορά φάσης δύο σημείων της χορδής που απέχουν από το άκρο Ο αποστάσεις 0,25m και 0,85m.
ζ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο την χρονική στιγμές στιγμές t1=1/12s, t2=1/10s και t3=2/15s  στο ίδιο σύστημα αξόνων
η) την επί τοις % μεταβολή της συχνότητας ταλάντωσης της χορδής, ώστε ο αριθμός των δεσμών μεταξύ των άκρων να ελαττωθεί κατά ένας.

21. Πλάγια κρούση και κύλιση

Το βλήμα μάζας m=100g, πριν σφηνωθεί στη ξύλινη σφαίρα, έχει ταχύτητα υ=3m/s σε διεύθυνση που σχηματίζει με την οριζόντια γωνία φ=600. Το βλήμα σφηνώνεται ακαριαία στο σημείο Γ, μιας κατακόρυφης διαμέτρου της σφαίρας με (ΚΓ)=5cm. Αν η σφαίρα έχει μάζα Μ= Kg και ακτίνα R=10cm και παρουσιάζει με το οριζόντιο δάπεδο συντελεστή τριβής  ολίσθησης μ=0,1, τότε:
α) Να δείξετε ότι αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ολισθαίνει,
β) να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση καθώς και η αρχική του γωνιακή επιτάχυνση,
γ) να βρείτε το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που χάνεται κατά την κρούση και το ποσοστό της ίδιας αρχικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω τριβών της σφαίρας με το δάπεδο και μέχρι το στερεό να σταματήσει να κινείται.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=2/5Μ×R2 ότι το βλήμα είναι αμελητέων διαστάσεων και g=10m/s2.


Συνοπτική λύση:

Σάββατο, 21 Απριλίου 2012

20. Κύλιση και κρούση...

Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μεγάλου μήκους, γωνίας κλίσης φ με ημφ=0,6, αφήνεται να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, μια σφαίρα μάζας m=100g και ακτίνας R=1cm. Η σφαίρα αφού διανύσει διάστημα S συγκρούεται ελαστικά με το κάτω άκρο  ράβδου. Η ράβδος που έχει μήκος L=0,6m και μάζα M=0,3 Kg, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α. Aκόμη η  ράβδος στο κάτω άκρο της έχει μια «μύτη» αμελητέων διαστάσεων έτσι ώστε η δύναμη που αναπτύσσεται κατά τη διάρκεια της κρούσης να περνάει από το κέντρο της σφαίρας. Η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και η ακτίνα της σφαίρας θεωρείται ασήμαντη σε σχέση με το μήκος της ράβδου.
α) Να υπολογιστεί η ελάχιστη απόσταση S, ώστε να πετύχουμε οριακή ανακύκλωση της ράβδου,
β)i) Αν ο συντελεστής στατικής τριβής που είναι ίσος με το συντελεστή τριβής ολίσθησης είναι μ=0,25, τότε να δείξετε ότι μετά την κρούση η σφαίρα θα ολισθαίνει,
ii) σε πόσο χρόνο θα σταματήσει η ολίσθηση της σφαίρας;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ιρ=1/3ΜL2, ακόμη δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ισ=2/5m×R2 και g=10m/s2.
Λύση:

Κρούση ημικυκλίων


Τα δύο ημικύκλια του παρακάτω σχήματος μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α. Η διάμετρος ΑΒ είναι κατακόρυφη ενώ η διάμετρο ΑΓ είναι οριζόντια. 
Το κάθε ημικύκλιο θεωρούμε ότι έχει μάζα Μ1=1Κg και όλη του η μάζα είναι συγκεντρωμένη σε ακτίνα R=1m. Αφήνουμε ελεύθερο το ένα ημικύκλιο και μετά από λίγο αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο ημικύκλιο με αποτέλεσμα τα δύο ημικύκλια να συγκρουστούν ταυτόχρονα και πλαστικά όταν έχουν τη  μέγιστη κινητική τους ενέργεια.
Να βρεθούν:
A) H κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την πλαστική κρούση των δύο ημικυκλίων
Β) Tο συνημίτονο της   μέγιστης  γωνίας  που θα διαγράψει η κατακόρυφη διάμετρος  ΑΒ των ημικυκλίων μετά την κρούση.
Δίνεται  ότι το κέντρο μάζας ημικυκλίου   βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας του σε απόσταση 4R/3π από το κέντρο του.

Μια ταλάντωση σώματος σε πλάγια σανίδα.


Η σανίδα του σχήματος, μήκους 2m και μάζας Μ=4kg, έχει αρθρωθεί στο άκρο της Α, ενώ το άλλο της άκρο Β είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα και ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6. Πάνω στη σανίδα, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, ο άξονας του οποίου είναι παράλληλος με τη ράβδο, ισορροπεί ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=2kg. Η θέση ισορροπίας του σώματος Σ είναι το μέσον Ο της σανίδας.
i)   Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος.
ii)  Μετακινούμε το σώμα Σ, προς τα πάνω κατά μήκος της σανίδας, κατά 0,2m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.
α)  Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ.
β)  Θεωρώντας θετική την αρχική απομάκρυνση, να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ)  Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
δ)  Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ, τη χρονική στιγμή t1=0,5s.
Δίνονται π2≈10 και g=10m/s2.

Ένα αμαξάκι ... κουτσό


Το εικονιζόμενο αμαξάκι αποτελείται από μια σανίδα που στηρίζεται σε δύο ζεύγη τροχών.
Η σανίδα Σ1 είναι ομογενής, έχει μάζα m=18kg, μήκος L και είναι τρυπημένη κατά πλάτος στα δύο της άκρα, ώστε να περνούν οι άξονες που στηρίζουν τους τροχούς και να στρέφονται χωρίς τριβές. Στο μέσο της μπροστινής πλευράς της είναι δεμένο αβαρές και μη εκτατό σχοινί.
Οι τροχοί έχουν ασήμαντη μάζα και ακτίνα R=(4/9)m. Ανά δύο συνδέονται σταθερά με λεπτό αβαρή άξονα στερεωμένο στα κέντρα τους ώστε να αποτελούν ενιαίο στερεό Σ2. Το κέντρο μάζας G2 του στερεού αυτού βρίσκεται στο μέσο της απόστασης ΟΟ΄.
Από το αμαξάκι έχουμε αφαιρέσει τους πίσω τροχούς για επισκευή. Έτσι, το πίσω μέρος της σανίδας ακουμπάει στο έδαφος.
Στο διπλανό σχήμα, το «κουτσό» αμαξάκι βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού ασκούμε οριζόντια δύναμη μετρου F. Το σκοινί παραμένει τεντωμένο και οριζόντιο και το αμαξάκι ακίνητο.
Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης μεταξύ όλων των επιφανειών είναι ίδιος, μορολ=μ=0,5.
1. Να υπολογίσετε το μεγαλύτερο μέτρο που μπορεί να έχει η ασκούμενη δύναμη ώστε το αμαξάκι να παραμένει ακίνητο.
2. Στη συνέχεια αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης σε F=45N και αφήνουμε το αμαξάκι ελεύθερο να κινηθεί τη χρονική στιγμή t0=0. Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο καθένα από τα σώματα Σ1 και Σ2. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης των δύο τροχών;
3. Σε ποιες μορφές μετατρέπεται η ενέργεια που προσφέρεται μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης κατά την κίνηση αυτή και μέσω ποιων έργων; Αν θέλαμε να μην εκλύεται καθόλου θερμότητα κατά την πιο πάνω μετακίνηση, πόσο θα έπρεπε να είναι το ελάχιστο μέτρο αυτής της δύναμης;
Δίνονται:   φ=27º    ημφ≈0,45     συνφ≈0,90    g=10m/s².
Να θεωρήσετε ότι οι δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που περνάει από τα κέντρα μάζας τους.
 

Παρασκευή, 20 Απριλίου 2012

Ισορροπία – περιστροφή – κρούση – ταλάντωση



Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ = 2R και μάζας  Μρ = 3m , έχει στο ένα της άκρο στερεωμένο σημειακό σφαιρίδιο Σ1 μάζας  m1 = m = (1/20) kg,  και είναι κολλημένη στο επίπεδο μιας τροχαλίας  Τ μάζας Μ = 4m και ακτίνας  R = (1/20) m , όπως φαίνεται στο σχήμα,  όπου Ο , είναι το κέντρο της τροχαλίας. Το σύστημα των τριών αυτών σωμάτων , μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές , γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο κατακόρυφο επίπεδο της τροχαλίας,  και διέρχεται από το κέντρο της Ο.
Αρχικά,  το σύστημα ηρεμεί σε ισορροπία,  με τη βοήθεια οριζόντιου αβαρούς και ανελαστικού  νήματος ΑΒ,  που έχει το ένα του άκρο Α δεμένο στο ανώτερο σημείο της τροχαλίας, και το άλλο Β,  σε κατακόρυφο τοίχο.
Α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.
Β. Κόβουμε το νήμα.  Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω μεγεθών αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος:
Β1. γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος
Β2. μέτρο  του ρυθμού  μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου Σ1.
Γ. Τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια,  το σφαιρίδιο Σ1 χτυπά πάνω σε σημειακή σφαίρα  Σ2  μάζας m2= 10m  που  ηρεμεί σε ισορροπία,  δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.
Αν η κρούση το συστήματος με τη σφαίρα  Σ2 είναι ελαστική ,  διαρκεί αμελητέο χρόνο,  και μετά απ’ αυτήν , η φορά περιστροφής του συστήματος των τριών σωμάτων  αντιστρέφεται , να υπολογίσετε:
Γ1. Τη γραμμική ταχύτητα του σφαιριδίου Σ1 ακριβώς πριν την κρούση.
Γ2. Τη γραμμική ταχύτητα του σφαιριδίου Σ1  και την ταχύτητα της σφαίρας  Σ2 , αμέσως μετά την κρούση.
Δ. Μετά την κρούση,  το σύστημα των τριών σωμάτων συγκρατείται ακίνητο στην ανώτερη θέση που φτάνει, ενώ το σύστημα ελατήριο - σφαίρα Σ2 , κάνει απλή αρμονική ταλάντωση , χωρίς αρχική φάση.
Να υπολογίσετε:
Δ1. Την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την ταλάντωση αυτή
Δ2, Τη  μεταβολή της στροφορμής της   σφαίρας Σ2 ως προς το Ο , από τη χρονική στιγμή  t = 0 μέχρι την  t = T/2 , όπου Τ η περίοδος  της ταλάντωσης.
Δίνονται  οι ροπές αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής  της ράβδου Ιρ = Μρℓ²/3  και της τροχαλίας ΙΤ = ΜR²/2 , g = 10m/s²  και η γωνία θ =60ο

Πέμπτη, 19 Απριλίου 2012

Κίνηση δύο δίσκων σε επαφή.

Δύο οριζόντιοι δίσκοι Α και Β βρίσκονται σε επαφή, ενώ μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα  z, ο οποίος περνά από τα κέντρα τους. Οι δίσκοι ηρεμούν. Γύρω από τον δίσκο Α τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, μέσω του οποίου, τη στιγμή t=0, του ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν, προσδίδοντας σταθερή επιτάχυνση στο άκρο Ε του νήματος, μέχρι τη στιγμή t1=2s, οπότε έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους x=4,8m. Ο  Β δίσκος «παρασύρεται» και περιστρέφεται από τη ροπή της τριβής που δέχεται από τον Α δίσκο.  Τη στιγμή t1 παύουμε την άσκηση της δύναμης. Για τους  δίσκους Α και Β δίνονται m1=8,5kg, m2=4kg, R1=0,8m και R2=0,6m αντίστοιχα, ενώ η ροπή αδράνειας ενός δίσκου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR2.
i)   Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του Α δίσκου.
ii)  Να υπολογιστεί η ροπή της τριβής που ασκήθηκε στον Α δίσκο από τον Β.
iii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα κάθε δίσκου τη στιγμή t1;
iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κάθε δίσκου, αλλά και του συστήματος των δύο δίσκων, ως προς τον άξονα z, τη χρονική στιγμή t=1s.
v) Να υπολογισθεί η μηχανική ενέργεια που μετετράπη σε θερμική, εξαιτίας της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ των δύο  δίσκων, μέχρι τη στιγμή t1.
vi)  Να βρεθεί η τελική γωνιακή ταχύτητα των δίσκων.

Τρίτη, 17 Απριλίου 2012

19. ...ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΣΚΟΥ

Μια άσκηση από το  βιβλίο των Beer- Jonhston.
ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΣΚΟΥ
Ένας  ομογενής δίσκος μάζας m=4Kg και ακτίνας r=5cm, τοποθετείται σε άξονα Οx αμελητέας μάζας. Ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα Οx με γωνιακή ταχύτητα ω1=6 rad/s, ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται και γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οy χωρίς να ολισθαίνει, με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, και σε απόσταση L=12cm όπως φαίνεται στο σχήμα. Προσδιορίστε:
α) τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου,
β) τη συνολική στροφορμή του , και
γ) την ολική  κινητική του ενέργεια.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου για το κέντρο μάζας του και ως προς τον άξονα Οx,
Ιx=1/2mr2 ,  ενώ για τον άξονα Oy και για το κέντρο μάζας του είναι αντίστοιχα Ιy=1/4mr2.
Λύση:

Κρούση μιας σφαίρας με κύβο.

Από την κορυφή ενός λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=2,5m, αφήνεται να ολισθήσει μια σφαίρα Α μάζας Μ=0,3kg και ακτίνας r=5cm, η οποία φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ. Η σφαίρα παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μs=0,2 και αφού κινηθεί επί χρονικό διάστημα Δt=2s, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο κύβο ακμής α=0,1m και μάζας m=0,2kg.
i)   Ποιο το μέτρο της ταχύτητας υ, με την οποία αρχίζει να κινείται η σφαίρα στο οριζόντιο επίπεδο.
ii)  Ποια η ταχύτητα της σφαίρας ελάχιστα πριν την κρούση.
iii) Πόσο απέχει ο κύβος Β από την βάση του τεταρτοκυκλίου;
iv) Με δεδομένο ότι η δύναμη που ασκείται από τη σφαίρα στον κύβο στη διάρκεια της κρούσης είναι οριζόντια, να βρεθεί το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που μεταφέρεται στον κύβο.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι= 0,4ΜR2 και g=10m/s2.

DOPPLER-ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ-ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Σάββατο, 14 Απριλίου 2012

18. ΡΑΒΔΟΣ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ…

Ο κύβος Σ του σχήματος έχει μάζα m=1Kg  και είναι δεμένος σε ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m και μπορεί να ταλαντώνεται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ακόμη ο κύβος Σ είναι δεμένος μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος με ράβδο μάζας Μ=3Kg και μήκους L=2m που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το άκρο της Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά το νήμα είναι οριζόντιο το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και η ράβδος σχηματίζει γωνία φ=600 με το οριζόντιο έδαφος. Εκείνη τη στιγμή (t=0), αφήνουμε τη μάζα ελεύθερη να κινηθεί και αρχίζει να ταλαντώνεται. Αν τη στιγμή t=1s, που ο κύβος απομακρύνεται μέγιστα από την αρχική του θέση, η ράβδος έχει περιστραφεί κατά 300, τότε:
α) Ποια είναι η σταθερά D της ταλάντωσης του κύβου;
β) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί ο κύβος.
γ) Αν τη στιγμή που ο κύβος μάζας m, βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση κόβεται το νήμα τότε ποια είναι η εξίσωση της νέας ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει ο κύβος; Θεωρείστε ότι τη στιγμή που κόβεται το νήμα είναι t=0.
δ) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή που συγκρούεται με το οριζόντιο έδαφος; Δίνονται sqr3=1,7 , π2=10 και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από τον άξονα περιστροφής της είναι Ι=1/3ΜL2.



Πέμπτη, 12 Απριλίου 2012

Μια σφαίρα που πήρε ανάποδες στροφές.

Η σφαίρα του παρακάτω σχήματος έχει ακτίνα R=0,2m και μάζα m=1kg.H σφαίρα την χρονική στιγμή t=0 βάλλεται με αρχική ταχύτητα υcm=10m/sec  και  ταυτόχρονα με την βοήθεια στιγμιαίας εξωτερικής ροπής δίνεται στη σφαίρα κατάλληλη γωνιακή ταχύτητα έτσι ώστε το ανώτερο σημείο της σφαίρας να έχει μηδενική ταχύτητα. Η σφαίρα κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο μέχρι να συγκρουστεί μετωπικά ακαριαία  κεντρικά  και  ελαστικά με κύβο ακμής α=0,4m και μάζας m=1Kg που είναι ακίνητος και δεμένος με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=π2Ν/m. Αν η αρχική απόσταση  των κέντρων μάζας των δύο σωμάτων ήταν x=10,4m να βρεθούν:
AO αριθμός των περιστροφών που  θα εκτελέσει η σφαίρα μέχρι να επιστέψει στην αρχική της θέση.
Β)  Aν η σφαίρα τελικά κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ή όχι
Γ) Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας τη σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο καθώς η γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας σαν συνάρτηση του χρόνου αν θετική φορά θεωρηθεί η αρχική φορά της ταχύτητας του κέντρου μάζας.

Τρίτη, 10 Απριλίου 2012

Μια περιστροφή και μια α.α.τ.

Η ράβδος ΑΓ έχει μήκος 3m, μάζα Μ=10kg και μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, αρθρωμένη στο άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, με το άλλο της άκρο Γ, δεμένο μέσω κατακόρυφου νήματος, με σώμα Σ μάζας m=5kg, το οποίο ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 1m και σταθερά 200Ν/m.
i) Πόση δύναμη δέχεται η ράβδος στο σημείο Α και πόσο είναι στην ισορροπία το μήκος του ελατηρίου;
ii) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το νήμα που συνδέει το σώμα Σ με τη ράβδο, οπότε το Σ εκτελεί α.α.τ. ενώ η ράβδος στρέφεται γύρω από το άκρο της Α. Να βρείτε:        
α) Την ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ,    
β) Την αρχική επιτάχυνση (για t=0) τόσο του σώματος Σ, όσο και του σημείου Γ της ράβδου.
γ) Την μέγιστη ταχύτητα του σώματος Σ και την μέγιστη ταχύτητα του σημείου Γ.
Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της Ιcm = ml2/12 , π2≈10, g=10m/s2 ενώ δεν αναπτύσσονται τριβές στην άρθρωση στο άκρο Α κατά την πτώση της ράβδου.

Δευτέρα, 9 Απριλίου 2012

Κρούσεις – ταλάντωση – περιστροφή και στροφορμή



Δυο όμοιες λεπτές ράβδοι ΑΒ, και ΒΓ μάζας M = 2m και μήκους ℓ = 0,5 m η κάθε μια, συνδέονται μεταξύ τους μέσω άρθρωσης αμελητέας μάζας.
Αρχικά και οι δυο ράβδοι κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα V, σχηματίζοντας ευθεία γραμμή.Η εκφώνηση και η απάντηση εδω

Δύο σφαίρες στα άκρα ίσων νημάτων.

Δυο μικρές σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, κρέμονται με  δύο νήματα ίσου μήκους, από το ίδιο σημείο. Εκτρέπουμε την Α σφαίρα, ώστε το νήμα να σχηματίσει γωνία θ με την κατακόρυφο, ανεβάζοντάς την κατά Η και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά την ελαστική και μετωπική μεταξύ τους κρούση, οι σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο ίδιο ύψος h, όπως στο σχήμα.


1)     Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:
i)       Μεγαλύτερη μάζα έχει η Β σφαίρα.
ii)      Οι ταχύτητες μετά την κρούση των δύο σφαιρών, είναι αντίθετες.
iii)    Οι δύο σφαίρες έχουν ίσες κατά μέτρο ορμές, αμέσως μετά την κρούση.
iv)   Η ορμή που θα αποκτήσει η Β σφαίρα λόγω κρούσης, είναι μικρότερη από την αρχική ορμή της σφαίρας Α πριν την κρούση.
   Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
2)     Αν Η=4h, όπου Η το αρχικό ύψος από το οποίο αφέθηκε η Α σφαίρα και h το τελικό μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέβουν, τότε:
i)  Οι μάζες των δύο σφαιρών ικανοποιούν τη σχέση:  
α) m1=m2       β) m1=2m1      γ) m2=2m1     δ) m2=3m1
ii)  Σε μια στιγμή, στη διάρκεια της κρούσης, το μέτρο της τάσης του νήματος που κρέμεται η Α σφαίρα, γίνεται ίση με το βάρος της. Τότε η Β σφαίρα έχει κινητική ενέργεια:
α)  1/3 m1gh.   β)  ½ m1gh    γ) 2/3 m1gh    δ) m1gh