Τετάρτη, 29 Φεβρουαρίου 2012

Τριγωνική διάταξη ράβδων



Κέντρο βάρους τριγωνικής διάταξης ράβδων.
Στις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ ενεργούν τρεις παράλληλες και ομόρροπες δυνάμεις τα μέτρα των οποίων είναι ανάλογα προς τα μήκη των απέναντι πλευρών.
Α) να βρεθεί το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης των.
Β) με βάση την απάντηση στο (Α) ερώτημα, βρείτε τη συνισταμένη των βαρών τριών ράβδων ίδιας γραμμικής πυκνότητας, που αποτελούν τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.
Απάντηση

Ο κύλινδρος σε πλάγιο επίπεδο.

Στο μέσον ενός κυλίνδρου μάζας Μ=20kg, ο οποίος συγκρατείται σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, υπάρχει μια μικρή εγκοπή στην οποία έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=2,5kg, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Αν το τμήμα του νήματος μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας, είναι παράλληλο με το επίπεδο, οι συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου μ=μs=0,4, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
i)  Να υπολογίστε την επιτάχυνση του σώματος Σ
ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του, αν η ακτίνα του είναι R=0,7m.
iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέβει κατά 1m.

Τρία στερεά σε δύο ταλαντώσεις

Τρία ίδιας μάζας Μ=3/14 Κg  και ίδιας ακτίνας στερεά σώματα ,ένας λεπτός δίσκος, μία σφαίρα και ένα δαχτυλίδι μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το καθένα από τα παραπάνω σώματα δένεται με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=120N/m με το κέντρο του κάθε στερεού ενώ η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι μόνιμα στερεωμένη. Το κάθε στερεό ισορροπεί και στο καθένα από αυτά και την στιγμή t=0 ασκούμε στο κέντρο του σταθερή οριζόντια δύναμη F=60N  έτσι ώστε το κάθε  ελατήριο να  μπορεί να επιμηκύνεται.
α) Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας του κάθε στερεού εκτελεί γ.α.τ.  καθώς και να βρεθεί πόσο θα  είναι τότε  το πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας του κάθε στερεού;
β) Μετά από πόσο χρόνο πρέπει να καταργηθεί η  δύναμη στο καθένα από τα παραπάνω στερεά  έτσι ώστε να σταματήσει η περιοδική κίνηση του κάθε στερεού. Ποιο  κέντρο μάζας  κάποιου από τα παραπάνω στερεά θα μπορούσε να σταματήσει πρώτο;Σε πόσο χρόνο;
γ)  Αν καταργηθεί η εξωτερική δύναμη θα συνεχίσει το κέντρο μάζας του κάθε στερεού να εκτελεί γ.α.τ.Σε ποια θέση σε σχέση με το φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου  θα πρέπει  να καταργηθεί η κάθε δύναμη για ταλαντώνεται το σύστημα με την μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης;
Δίνονται ο ροπές αδράνειας ΙδαχR2  Iδισκ=0,5ΜR2 και Ισφ=0,4ΜR2.

Δευτέρα, 27 Φεβρουαρίου 2012

Ταλάντωση και κύλιση με ολίσθηση

Στην διάταξη του σχήματος εικονίζεται ένας συμπαγής κύλινδρος μάζας m=1Kg και ακτίνας R=10cm, ο οποίος είναι συνδεδεμένος με κατάλληλο μηχανισμού με ελατήριο σταθεράς k=100N/m με τέτοιο τρόπο ώστε ο κύλινδρος να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον γεωμετρικό άξονα συμμετρίας του.
Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και δαπέδου είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης και είναι ίσος με μs=μ=1
Αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος και το ελατήριο βρίσκεται σε κατάσταση μηδενικής παραμόρφωσης.
Απομακρύνουμε τον κύλινδρο κατά x0 από την θέση ισορροπίας του και τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
Α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του x0 ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει
B) Απομακρύνουμε τον κύλινδρο κατά 10(1+π) cm και την στιγμή t0=0 τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
B1) Να εξηγήσετε γιατί ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται ολισθαίνοντας.
Β2) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου συναρτήσει του χρόνου από την στιγμή 0 έως την στιγμή t1=π/20s.
Β3) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου επαφής συναρτήσει του χρόνου από την στιγμή 0 έως την στιγμή t1=π/20s..
Β4) Να εξηγήσετε γιατί την στιγμή t1=π/20s ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Β5) Να υπολογίσετε το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου που μετατράπηκε σε θερμική από την στιγμή t0=0 μέχρι την στιγμή t=t1
B6) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου την στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος για πρώτη φορά।

Απάντηση σε pdf και σε word

8. Θ.Μ.Κ.Ε σε κινούμενο γιο-γιο



Θ.Μ.Κ.Ε σε κινούμενο γιο- γιο.

Ο λεπτός σωλήνας του σχήματος έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα R=0,1m. Τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σωλήνα ελεύθερο να κινηθεί κατακόρυφα, ενώ το σημείο Γ παραμένει ακίνητο.

Όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους L=2,5m:

Α)

α) Να υπολογιστεί η κινητική του ενέργεια.

β) Σε πόσο χρόνο ξετυλίγεται το νήμα;

γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος εκείνη τη στιγμή.

δ) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος λόγω στροφικής και λόγω μεταφορικής κίνησης;

ε) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος και πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του;


Β) Tη στιγμή που ξετυλίχτηκε το νήμα αρχίζουμε να τραβάμε προς τα πάνω το λεπτό σωλήνα ασκώντας κατακόρυφη δύναμη F, ενώ το σημείο εφαρμογής Γ, της δύναμης επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση αΓ=g/4m/s2. Τότε να υπολογίσετε:

 α) τη δύναμη F,

β) την κινητική ενέργεια του σωλήνα μετά από χρόνο t=0,8s, από τη στιγμή που άρχισε να ασκείται η δύναμη,

γ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής, στροφικής καθώς και το συνολικό ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σωλήνα εκείνη τη στιγμή.

g=10m/s2.


Κύλινδρος εν γωνία.

Γύρω από έναν κύλινδρο, μάζας 7kg, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε θέση όπως στο σχήμα και τραβώντας το άκρο του νήματος ασκούμε στον κύλινδρο δύναμη F. Η γωνία θ που σχηματίζει το νήμα με την οριζόντια διεύθυνση είναι θ=30°. Ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος, ενώ ο κύλινδρος παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μ=μs=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
i)  Ποια είναι η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε μέσω του νήματος, χωρίς να περιστραφεί ο κύλινδρος;
ii) Αυξάνουμε την ασκούμενη δύναμη, στην τιμή F=30Ν. Πόσο νήμα πρέπει να τραβήξουμε σε χρονικό διάστημα t1=2s, για να εξασφαλίσουμε την εξάσκηση της παραπάνω σταθερής δύναμης στον κύλινδρο;
iii) Συνεχίζουμε να αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να χάσει την επαφή με το οριζόντιο επίπεδο;

Η τριγωνική πλάκα και οι τρεις μεταφορείς


Τρεις φίλοι μεταφέρουν μια ομογενή μαρμάρινη πλάκα που έχει παντού το ίδιο πάχος.
Δείξατε ότι ασκούν σ’ αυτήν ίσου μέτρου δυνάμεις.

Κυριακή, 26 Φεβρουαρίου 2012

Κρούση και φθίνουσα ταλάντωση (όπως λύθηκε μέσα στην τάξη)

Σώμα μάζας m1=3 kg είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ισορροπεί. Όλο το προαναφερθέν σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατάλληλη διάταξη με την οποία είναι δυνατόν να ελέγχεται η πίεση του αέρα. Αρχικώς, η πίεση τείνει να είναι μηδενική.
Με κατάλληλη διάταξη, σώμα μάζας m2=1 kg εκτοξεύεται με φορά προς τα πάνω και με ταχύτητα, λίγο πριν την κρούση, u2=2√3 m/s συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m1. Το συσσωμάτωμα θα εκτελέσει Απλή Αρμονική Ταλάντωση. Ως χρονική στιγμή t=0 θεωρείται αυτή της κρούσης και ως θετική φορά η άνω.
Τη χρονική στιγμή t=7π/15 s ακαριαία αυξάνεται η πίεση του αέρα στο εσωτερικό της διάταξης, με αποτέλεσμα μετά από χρόνο ίσο με δύο περιόδους το πλάτος της ταλάντωσης να έχει υποτετραπλασιαστεί. Η δύναμη της απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας.
Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και σταθερά Λ=b/2m.
Θεωρήστε πως η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης.
Να απαντηθούν τα ακόλουθα ζητήματα.
1. Να γραφεί η εξίσωση της ΑΑΤ που εκτελεί το συσσωμάτωμα.
2. Να γίνει το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη Θέση Φυσικού Μήκους.
3. Να υπολογιστεί η σταθερά Λ και να γραφεί η δύναμη της απόσβεσης σε συνάρτηση με το χρόνο.
4. Να υπολογιστεί η θερμότητα που εκλύθηκε στο περιβάλλον μέχρι τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε.
5. Να γίνει το διάγραμμα απομάκρυνσης από τη Θέση Ισορροπίας του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο μέχρι τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε.
6. Να υπολογιστεί η θερμότητα που θα εκλυθεί στο περιβάλλον από τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται.


ΖΗΤΗΜΑ 4ο: Ο ΠΟΔΗΛΑΤΗΣ

Μια μικρή ιστορία … «καθημερινής τρέλας»! (ή μήπως … «εικονικής πραγματικότητας»;)


Ο ποδηλάτης του σχήματος κινείται σε οριζόντιο δρόμο και βλέπει μπροστά του κάποιο εμπόδιο. Μόλις όμως πάει να φρενάρει, κόβεται το συρματόσκοινο του πίσω φρένου. Αν το μέτρο της ταχύτητάς του είναι υο = 20m/s τη στιγμή που συμβαίνει αυτό, να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση που χρειάζεται, φρενάροντας μόνο με το μπροστινό φρένο, για να σταματήσει χωρίς να κινδυνέψει να πέσει.
ΔΙΝΟΝΤΑΙ:
Η μάζα του κάθε τροχού θεωρείται αμελητέα, ακτίνα κάθε τροχού  R=0,3m,
απόσταση  Κ1Κ2 = L = 1m,  μάζα ποδηλάτου – ανθρώπου  m = 60kg,
οριακός συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ασφάλτου και ελαστικού  μ = 2  και
g = 10m/s².
Να θεωρήσετε επίσης ότι το κέντρο μάζας Κ του συστήματος ισαπέχει από τα κέντρα Κ1, Κ2 (δηλαδή ΚΚ1 = ΚΚ2) και βρίσκεται σε ύψος h = 1,1 m από το έδαφος. Τέλος, το σημείο εφαρμογής Σ της δύναμης που ασκεί το φρένο στον τροχό βρίσκεται στην κατακόρυφη που περνάει από το κέντρο Κ1 και απέχει απόσταση R από αυτό.


Παρασκευή, 24 Φεβρουαρίου 2012

Μια σφαίρα κατά μήκος δύο επιπέδων.

Δίνονται δύο κεκλιμένα επίπεδα Α και Β με την ίδια κλίση. Μια σφαίρα αφήνεται να κινηθεί πρώτα από την κορυφή του επιπέδου Α και ύστερα του επιπέδου Β. Το Α επίπεδο είναι λείο, ενώ στο Β λόγω τριβών η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
i) Η μηχανική ενέργεια διατηρείται κατά την κίνηση:
α) Στο επίπεδο Α,           β) Στο επίπεδο Β                 γ) και στα δύο επίπεδα.
ii) Με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια φτάνει η σφαίρα στη βάση του επιπέδου:
             α)  Α      β) Β    γ) φτάνει με την ίδια κινητική ενέργεια και στα δυο επίπεδα.
iii) Πιο σύντομα φτάνει η σφαίρα στην βάση  του επιπέδου:
              α)  Α       β) Β    γ) οι χρόνοι κίνησης είναι ίσοι και στα δύο επίπεδα.

Τετάρτη, 22 Φεβρουαρίου 2012

Κύλινδρος σε λείο και μη επίπεδο.

Διαθέτουμε δύο ίδιους κυλίνδρους (ίδιας μάζας και ακτίνας), στο μέσον των οποίων υπάρχει μικρό αυλάκι, μέσα στο οποίο έχουμε τυλίξει νήμα μήκους ℓ. Αφήνουμε τον πρώτο κύλινδρο Α σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τον δεύτερο Β, σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και ασκούμε στα άκρα των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, επιταχύνοντας τους κυλίνδρους, μέχρι να ξετυλιχθεί όλο το νήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2 και ότι ο Β κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
 i) Αν xΑ και xΒ οι μετατοπίσεις των αξόνων των δύο κυλίνδρων, μέχρι να ξετυλιχθεί το νήμα, ισχύει:
α)  xΑ = ½  xΒ,                 β)  xΑ = xΒ,                        γ)  xΑ =2xΒ,
ii) Αν ΚΑ και ΚΒ η κινητική ενέργεια των κυλίνδρων Α και Β αντίστοιχα την στιγμή που ολοκληρώνεται το ξετύλιγμα του νήματος ισχύει:
α) ΚΑ = 0,75 ΚΒ ,                β)  ΚΑ = ΚΒ ,            γ)   ΚΑ =1,25 ΚΒ .
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Άσκηση: κρούση-τριβές-ελατήριο και doppler (όπως αναλύθηκε μέσα στην τάξη)

Σώμα μάζας m1=3 kg είναι δεμένο στην άκρη νήματος. Η άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα μάζας m1 αφήνεται ελεύθερο από ύψος h=0,8 m και το σκοινί είναι τεντωμένο. Όταν το σώμα μάζας m1 διέρχεται από την κατώτερη θέση της τροχιάς του συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας m2=1 kg, το οποίο στο άλλο άκρο του έχει προσδεδεμένο οριζόντιο ελατήριο με αιχμηρό άκρο. Το ελατήριο είναι ιδανικό με σταθερά k=72 N/m. Επίσης, στο σώμα μάζας m2 είναι εγκατεστημένη συσκευή παραγωγής ηχητικών κυμάτων συχνότητας fs=680 Hz, η οποία έχει αμελητέα μάζα.



Κατόπιν της κρούσης το σύστημα σώματος μάζας m2-ελατήριο-συσκευή εκπομπής κυμάτων κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=0,2. Κάποια στιγμή η άκρη του ελατηρίου σφηνώνεται σε τοίχο, χωρίς να παρατηρούνται απώλειες θερμότητας και το ελατήριο συσπειρώνεται. Η απόσταση μεταξύ του ελεύθερου άκρου του ελατηρίου και του τοίχου είναι d=4 m. Άνθρωπος βρίσκεται πίσω από το σώμα μάζας m2, σε μεγάλη απόσταση από αυτό, και κινείται με ταχύτητα uA=3 m/s και με κατεύθυνση προς το σώμα μάζας m2.
Δίνεται, επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και η ταχύτητα του ήχου uηχ=340 m/s.
Να βρείτε:
1. Μέχρι ποιο ύψος θα ανέλθει το σώμα μάζας m1 μετά την κρούση.
2. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.
3. Τη συχνότητα με την οποία αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος τον ήχο τη στιγμή που το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του. Μην λάβετε υπόψη τον ήχο από την ανάκλαση στον τοίχο.
4. Σε ποια απόσταση από την αρχική του θέση θα πρέπει να βρίσκεται το σώμα μάζας m2 ώστε ο άνθρωπος να αντιλαμβάνεται την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπεται.

Τρίτη, 21 Φεβρουαρίου 2012

7. ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΚΑΙ … ΜΑΖΕΣ

ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΚΑΙ … ΜΑΖΕΣ
Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=6Kg και ακτίνα R=20cm και επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με δύναμη F=420N. Η τροχαλία μπορεί να στέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο της.  Γύρω από την τροχαλία, είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί, στα άκρα του οποίου είναι δεμένα σώματα με μάζες, m1=4Kg, m2=2Kg και m3=1Kg. Τότε:
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση α της τροχαλίας.
β) Να υπολογιστούν οι τάσεις των νημάτων.
γ) Για ανύψωση της τροχαλίας κατά h=15cm να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήματος.
δ) Να βρεθεί η σχέση που δίνει τη στροφορμή του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και
ε) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος.
Δίνεται για την τροχαλία Ιcm=1/2MR2 και g=10m/s2.
Λύση:

Δευτέρα, 20 Φεβρουαρίου 2012

Ένα γιο-γιο ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο.


Ο , αρχικά ακίνητος , ομογενής κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 10 kg και ακτίνα 0,2 m.  Έχει λεπτή εγκοπή βάθους 0,1 m έτσι ώστε νήμα αμελητέου πάχους  να τυλίγεται και να απέχει 0,1 m από το κέντρο του κυλίνδρου.
Για την γωνία φ ξέρουμε ότι ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8.
  1. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής ώστε να ισορροπεί;
  2. Αν οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης είναι και οι δύο 0,2 να υπολογισθούν η επιτάχυνση και η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.
  3. Ποια θα είναι η μετατόπιση του κυλίνδρου την στιγμή 2s , ποια η γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου και πόσο νήμα θα έχει ξετυλιχθεί;
  4. Την ίδια στιγμή βρείτε την μεταβολή της δυναμικής , την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου και το έργο κάθε εμπλεκόμενης δύναμης.
Απάντηση:

Κυριακή, 19 Φεβρουαρίου 2012

Πρισματικό σώμα και κύλινδρος (ΙΙ)

Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο
Πρισματικό σώμα (Σ2) μάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ1) ίσης μάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεμένα με νήμα στα σημεία Ζ και Ο αντίστοιχα. Η σύνδεση με το κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή του γύρω από τον άξονά του που διέρχεται από το σημείο αυτό. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων – δαπέδου είναι ίδιος και για τα δύο σώματα, μολ = μορ = μ = 0,2.
Σε λεπτό αυλάκι γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει νήμα που το συγκρατούμε από το άκρο του Α ασκώντας μικρή οριζόντια δύναμη μέτρου Fεξ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το τυλιγμένο στον κύλινδρο κομμάτι του νήματος έχει μήκος L = 2m.
Τη στιγμή tο = 0 η εξωτερική δύναμη αποκτά σταθερό μέτρο Fεξ = 16Ν και το νήμα αρχίζει να ξετυλίγεται μέχρι να φύγει όλο από τον κύλινδρο. Ζητούνται τα εξής ...

Πρισματικό σώμα και κύλινδρος (Ι)

Ισορροπία σε οριζόντιο επίπεδο



Πρισματικό σώμα (Σ2) μάζας m2 = 4 kg και κύλινδρος (Σ1) μάζας m1 βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και είναι συνδεδεμένα με νήμα στα σημεία Ζ και Ο αντίστοιχα. Η σύνδεση στο κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ελεύθερη περιστροφή του γύρω από τον άξονά του που διέρχεται από το σημείο αυτό. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων – δαπέδου είναι ίδιος και για τα δύο σώματα, μολ = μορ = μ = 0,2.
Σε λεπτό αυλάκι γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει νήμα που το συγκρατούμε από το άκρο του Α ασκώντας μικρή οριζόντια δύναμη μέτρου Fεξ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα ισορροπεί παραμένοντας ακίνητο ...

Σάββατο, 18 Φεβρουαρίου 2012

Ο ΤΡΟΧΟΣ Η ΒΑΣΗ ΚΑΙ Η ΤΡΙΒΗ

6. κινητή τροχαλία και έργο τάσης νήματος

Στη διπλανή διάταξη η τροχαλία κέντρου Κ έχει ακτίνα R και μάζα M=4Kg ενώ η μικρή τροχαλία έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r. Αφήνουμε τη m1=3Kg ελεύθερη να κινηθεί.
Να βρείτε:
α) Την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί η μάζα m1 και
β) τη συνολική δύναμη ΣF  που ασκείται από την οριζόντια οροφή στο σύστημα  των τροχαλιών,
γ) Να υπολογιστούν τα έργα των τάσεων T1, T2  T3 που ασκούνται στις τροχαλίες αν η μάζα m1 μετατοπιστεί προς τα κάτω κατά h=1m.
Για την τροχαλία ισχύει
 Ιcm=1/2MR2 ακόμη g=10m/s2.


Λύση:

Πέμπτη, 16 Φεβρουαρίου 2012

5. Κινητή τροχαλία και ταλάντωση



Στη διπλανή διάταξη η τροχαλία κέντρου Κ έχει ακτίνα R και μάζα M=4Kg ενώ η μικρή τροχαλία έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα r.
H m1=3Kg ενώ το ελατήριο έχει σταθερά
Κ=400Ν/m. Τραβάμε τη μάζα m προς τα κάτω κατά d=10cm και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη.
Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η δύναμη που F  που ασκείται από την οριζόντια οροφή στη μικρή τροχαλία. Για την τροχαλία ισχύει: Ιcm=0,5MR2 ακόμη g=10m/s2.



Τετάρτη, 15 Φεβρουαρίου 2012

Έργο και ενέργεια κατά την κίνηση στερεού. Φ.Ε.

Ένα φύλλο εργασίας

Ο τροχός του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο. Σε μια στιγμή δέχεται δύναμη F, εφαπτόμενη στην περιφέρειά του. Μετά από λίγο, ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία dθ και το σημείο εφαρμογής της δύναμης έχει διαγράψει τόξο μήκους ds.

Όλο το φύλλο εργασίας σε Word αλλά και σε pdf.

Τρίτη, 14 Φεβρουαρίου 2012

4. Κύλινδρος και ταλάντωση

Γύρω από τον ομογενή κύλινδρο του σχήματος μάζας Μ=4Κg, είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα το ελεύθερο άκρο του οποίου μέσω αβαρούς τροχαλίας δένεται με σώμα μάζας m=1Kg. Ο κύλινδρος Μ είναι δεμένος  από το κέντρο μάζας του, στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m και μπορεί να κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να ολισθαίνει. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.
Τραβάμε τη μάζα m κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=10cm και την αφήνουμε ελεύθερη.
α) Να γράψετε τις εξισώσεις ταλάντωσης της μάζας m και του κυλίνδρου Μ,
β) να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η επιτάχυνση του άξονα περιστροφής του κυλίνδρου,
γ) να βρείτε πως μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η στατική τριβή μεταξύ του κυλίνδρου και του οριζόντιου επιπέδου και
δ) αν δίνεται ότι μs=1,6 τότε για ποιες τιμές του πλάτους ταλάντωσης του κυλίνδρου, αυτός δεν ολισθαίνει; Δίνονται για τον κύλινδρο Icm=0,5MR2 και g=10m/s2.

Απάντηση:



Ερωτήσεις στη διάθλαση

Η κάθετη τομή ενός οπτικού πρίσματος, είναι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 μοίρες ).

Το πρίσμα αυτό, έχει δείκτη διάθλασης για μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός n1 = 3/2 και είναι βυθισμένο σε υγρό, με δείκτη διάθλασης για την ίδια ακτίνα n2 = 4/3 , όπως δείχνει το σχήμα.

Οι ερωτήσεις ΕΔΩ

Οι απαντήσεις ΕΔΩ


Ένας κύλινδρος πάνω σε βάση.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας κύλινδρος, μάζας Μ=50kg και ακτίνας R=0,4m. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του, που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του,  ο οποίος στηρίζεται σε βάση της ίδιας μάζας Μ. Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=120Ν, όπως στο σχήμα, μέχρι να  ξετυλιχθεί νήμα μήκους 9,6m, τη στιγμή t1. Η βάση παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μs=μ=0,1 ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
i)     Να αποδείξτε ότι η βάση θα ολισθήσει πάνω στο επίπεδο.
ii)    Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στον κύλινδρο, μέσω του έργου της δύναμης, καθώς και η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή t1.
iii)   Για τη χρονική στιγμή t1, να βρεθούν η ισχύς της δύναμης F, η ισχύς της τριβής, καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής των κινητικών ενεργειών:  
α) βάσης  και           β) του κυλίνδρου.