Πέμπτη, 31 Μαρτίου 2011

Περιστροφή ενός δίσκου από δύο ροπές.


Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας 2m και μάζας 314kg μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Ο, χωρίς τριβές. Σε μια στιγμή ασκούνται πάνω του δύο οριζόντιες ίσες δυνάμεις, μέτρου F=40Ν, όπως  στο σχήμα, όπου η F1 δρα πάντα εφαπτομενικά, ενώ η F2 είναι πάντα παράλληλη προς την F1 και το σημείο εφαρμογής της είναι πάνω στην ίδια διάμετρο με το σημείο εφαρμογής της F1. Τη χρονική στιγμή t1 που ο δίσκος ολοκληρώνει 5 περιστροφές έχει γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s.
i) Ποια η απόσταση του σημείου εφαρμογής της δύναμης F2 από τον άξονα περιστροφής;
ii)  Για τη στιγμή t1 να βρεθούν:
α)  Η ισχύς της δύναμης F1.
β)  Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου.
iii) Τη στιγμή t1 καταργείται η δύναμη F1.
α)  Ποια η ισχύς της δύναμης F2 αμέσως μετά;
β)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής του τη στιγμή t1+2s και ποια η στροφορμή του δίσκου τη στιγμή αυτή;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του  δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2.

Τετάρτη, 30 Μαρτίου 2011

Άλλο ένα σύστημα ομοαξονικών κυλίνδρων.

ΘΕΜΑ Δ
Στερεό (Ρ) συνολικής μάζας Μ=1Kg αποτελείται από ομογενείς ομοαξονικούς κυλίνδρους. O εσωτερικός κύλινδρος έχει ακτίνα R=1m και είναι τυλιγμένος με νήμα από το οποίο κρέμεται μικρό σώμα (σ) μάζας M=1Kg. Οι εξωτερικοί κύλινδροι έχουν ακτίνες 2R και είναι τυλιγμένοι με νήματα, τα ελεύθερα άκρα των οποίων είναι δεμένα σε οροφή. Τα νήματα είναι αβαρή μη εκτατά και έχουν μεγάλο μήκος. Στα παρακάτω σχήματα εικονίζεται η διάταξη (σχήμα 1) και μια κατακόρυφη επίπεδη διατομή της (σχήμα 2), παράλληλα στην οποία γίνεται η κίνηση. Το κέντρο μάζας του στερεού (Ρ) βρίσκεται στο μέσον του άξονά του και η ροπή αδράνειάς του ως προς αυτόν είναι I=4MR2.

  1. Εφαρμόζουμε στο στέρεο (Ρ) ζεύγος δυνάμεων στο επίπεδο του σχήματος 2, ώστε η διάταξη να συγκρατείται ακίνητη με τα νήματα κατακόρυφα και τεντωμένα. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του μέτρου της κάθε δύναμης του ζεύγους.
  2. Καταργούμε το ζεύγος δυνάμεων και τα νήματα ξετυλίγονται χωρίς ολίσθηση παραμένοντας κατακόρυφα. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του σώματος (σ) για κάθε μέτρο νήματος που ξετυλίγεται από τους εξωτερικούς κυλίνδρους.
  3. Να υπολογίσετε τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού (Ρ).
Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Δίνεται g=10m/s2.



Κυριακή, 27 Μαρτίου 2011

Κύλιση ομοαξονικών κυλίνδρων

Θέμα Δ  19ο
Στερεό (Π) συνολικής μάζας M=5kg αποτελείται από ομογενείς ομοαξονικούς κυλίνδρους. Οι εξωτερικοί κύλινδροι έχουν ακτίνα R=1m και εφάπτονται σε  παράλληλες ακλόνητες σιδηροτροχιές που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Ο εσωτερικός κύλινδρος έχει ακτίνα 2R και είναι τυλιγμένος με αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. Ενώ το στερεό (Π) ηρεμεί, εφαρμόζουμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει παραμένοντας κατακόρυφο και οι εξωτερικοί κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση επάνω στις σιδηροτροχιές.
Η ροπή αδράνειας του στερεού (Π) ως προς τον άξονά του είναι I=MR2. O εσωτερικός κύλινδρος δεν εφάπτεται στις σιδηροτροχιές. Να υπολογίσετε
1. την μετατόπιση του κέντρου μάζας του στερεού (Π) για κάθε ένα μέτρο νήματος που ξετυλίγεται.
2. τη φορά της στατικής τριβής και να περιγράψετε το ρόλο της στο ενεργειακό ισοζύγιο του προβλήματος. Το μέτρο της δύναμης F δε θεωρείται γνωστό.
3. τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού (Π) αν η δύναμη έχει μέτρο F=10N.
4. το μέτρο της στροφορμής σπίν του στερεού (Π), τη χρονική στιγμή που η παρεχόμενη ισχύς σε αυτό έχει τιμή P=40W.


Ένας κύλινδρος σε επαφή με τοίχο.

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 20kg και ακτίνα R=0,5m και παρουσιάζει με τον τοίχο συντελεστές τριβής μ=μs=0,2.Γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια μεταβλητή δύναμη. Παρατηρούμε ότι για να αρχίσει να στρέφεται ο κύλινδρος απαιτείται να του ασκήσουμε  δύναμη τουλάχιστον F=50Ν, όπως στο σχήμα, όπου ημθ=0,6.
i)    Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του.
ii)   Αν αυξήσουμε το μέτρο της  δύναμης στην τιμή F=60Ν, παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=20rad/s σε χρονικό διάστημα 5s. Υπολογίστε στην περίπτωση αυτή την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του.
Δίνεται για τον κύλινδρο ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.


Μια …άλλη ταλάντωση στερεού.

Η ομογενής ράβδος ΑΓ μάζας Μ=30kg και μήκους 2m μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί οριζόντια δεμένη στο σημείο Δ, όπου (ΑΔ)=1,25m,  με κατακόρυφο νήμα και στο άκρο της Γ με κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=200Ν/m. Στη θέση αυτή η τάση του νήματος είναι ίση με 160Ν.
i)   Να βρεθεί η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.
ii) Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται. Το πάνω άκρο του ελατηρίου συνδέεται με μια μικρή «ροδίτσα» σε εγκοπή, με αποτέλεσμα το ελατήριο να παραμένει συνεχώς κατακόρυφο.
α) Να βρεθεί η μέγιστη γωνία που θα διαγράψει η ράβδος πριν σταματήσει  στιγμιαία.
β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της στη παραπάνω θέση;
iii)  Να υπολογιστεί η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου κατά τη διάρκεια της κίνησής της.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= 1/3 Μℓ2 και g=10m/s2.

Σάββατο, 26 Μαρτίου 2011

Περιστροφή του τροχού.


Πάνω σε ένα τραπεζάκι, που μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβές, βρίσκεται ένας άνθρωπος κρατώντας στο χέρι του ένα τροχό μάζας 5kg και ακτίνας 0,6m, η μάζα του οποίου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Σε μια στιγμή ο άνθρωπος ασκώντας κατάλληλη ροπή στον τροχό τον θέτει σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα ω=40rad/s, όπως στο σχήμα.
i) Να αποδείξετε ότι ο άνθρωπος μαζί με το τραπέζι θα περιστραφούν αποκτώντας γωνιακή ταχύτητα αντίθετης φοράς, υπολογίζοντας και το μέτρο της.
ii) Πόση χημική ενέργεια του ανθρώπου μετετράπη σε μηχανική κατά τη διαδικασία περιστροφής του τροχού;
Δίνεται η ροπή αδράνειας ανθρώπου-τραπεζιού ως προς τον άξονα περιστροφής του τραπεζιού Ι1=8kgm2.


Παρασκευή, 25 Μαρτίου 2011

Μια περίεργη ανακύκλωση


Δύο συμπαγής δίσκοι με Μ1 και Μ2 και ακτινών R1 και R2 με R1 = R2/2  βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και ενωμένοι έτσι ώστε να συμπεριφέρονται σαν ένα στερεό με κοινό κέντρο. Το σύστημα στερεώνεται στο κέντρο του Ο με άξονα οριζόντιο και μπορεί να στρέφεται γύρω από αυτόν χωρίς τριβές. Στον Μ2 υπάρχει περιμετρικό αυλάκι που έχει τυλιγμένο ιδανικό μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους . Στο κάτω άκρο του νήματος στερεώνεται σώμα m4 , το οποίο συγκρατείται έτσι ώστε το νήμα να είναι μόλις τεντωμένο με μήκος L και το σύστημα  των δίσκων είναι ακίνητο. Βλήμα m3 = m4  και ταχύτητας υ0 σφηνώνεται στο κάτω άκρο της περιφέρειας του δίσκου Μ2 και το σύστημα αρχίζει περιστροφή γύρω από τον άξονα Ο με το νήμα να είναι διαρκώς τεντωμένο. Η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου δίνεται από τον τύπο Ι = ½ Μ R2.
Θεωρούμε ως δεδομένα τα 1 , Μ­2 , m3 , m4 , R1 , R2 , L , g ). Θεωρούμε τις m3 και m4 σημειακές μάζες και ότι κατά την κρούση η εμφάνιση απότομα τάσης στο νήμα δεν συνοδεύεται με απώλεια ενέργειας από το νήμα.
Ζητούμενα : 
Α)Η ελάχιστη ταχύτητα του βλήματος  ώστε να καταφέρει το m3 να γυρίσει στην αρχική θέση της κρούσης του.
Β) Ποια η απώλεια ενέργειας κατά την διάρκεια της κρούσης m3 με  το δίσκο  ;
Γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής στροφορμής του συστήματος , στην θέση 2 και ποια η τάση του νήματος την στιγμή αυτή;

Το υλικό σημείο και η σφαίρα.

ΘΕΜΑ 2ο.
Μια ομογενής λεπτή ράβδος μήκους ℓ και μάζας Μ, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο μέσον Κ της ράβδου έχει προσδεθεί μια σφαίρα ίσης μάζας M (έχουμε τρυπήσει τη σφαίρα κατά μήκος μιας  διαμέτρου στην οποία εισχωρήσαμε τη ράβδο), δημιουργώντας έτσι ένα νέο στερεό. 
Στο πρώτο σχήμα η  ακτίνα της σφαίρας είναι μικρή (στερεό Α), οπότε την θεωρούμε αμελητέα, ενώ στο  δεύτερο σχήμα (στερεό Β) η σφαίρα έχει ακτίνα R. Τα δύο στερεά συγκρατούνται σε θέση τέτοια, ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και σε μια στιγμή αφήνονται να κινηθούν.
Οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές  ή λανθασμένες; Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
i)  Μεγαλύτερη αρχική γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει το στερεό Α.
ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα κατά την κίνηση των στερεών θα αποκτήσει το σημείο Γ.
iii) Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της  στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής είναι μεγαλύτερος για το Α στερεό.
iv) Η σφαίρα με τη μεγαλύτερη ακτίνα θα αποκτήσει και μεγαλύτερη μέγιστη κινητική ενέργεια.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι1= 1/3 Μℓ2 και η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας ως της άξονα που συμπίπτει με μια διάμετρό της Ι2= 2/5 ΜR2.

Χρόνος περιστροφής ράβδων.

ΘΕΜΑ 2ο.
Δύο ομογενείς ράβδοι ίδιου μήκους αλλά διαφορετικών μαζών Μ21, μπορούν να στρέφονται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα τους άκρο, χωρίς τριβές. Οι ράβδοι αφήνονται ταυτόχρονα να κινηθούν από την οριζόντια θέση.
Αναφερόμενοι στις θέσεις που οι ράβδοι σχηματίζουν γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση:
i)  Για τις γωνιακές ταχύτητες των  δύο ράβδων ισχύει:
α) ω12               β)  ω12                γ) ω1 > ω2
ii)  Για τις γωνιακές επιταχύνσεις  των  δύο ράβδων ισχύει:
α) αγ1< αγ2             β)  αγ1γ2               γ) αγ1γ2
iii) Στη θέση αυτή θα φτάσει πιο γρήγορα:
α) Η πρώτη ράβδος, β) η δεύτερη ράβδος γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iv) Κατά τη διάρκεια της κίνησης των ράβδων, μεγαλύτερη στροφορμή ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής τους, θα αποκτήσει:
α) Η πρώτη ράβδος, β) η δεύτερη ράβδος γ) θα αποκτήσουν ίσες στροφορμές.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το άκρο της Ι= ½ Μℓ2.


Πέμπτη, 24 Μαρτίου 2011

Δύο δίσκοι με ιμάντα και τα παιχνίδια της στροφορμής (1)


Η ιδέα για την ανάρτηση αυτή ήρθε από την πολύ καλή ανάρτηση του Νίκου Ανδρεάδη πριν μερικές ημέρες (ΕΔΩ), από την πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση που ακολούθησε και φυσικά και από τις προσομοιώσεις του Γιάννη Κυριακόπουλου :-)
Αρκετά πολύπλοκο πρόβλημα που με παίδεψε κάμποσο και στα σχήματα και στο στήσιμό του (μακριά από εξετάσεις ...).

Συνέχεια ... ΕΔΩ

Τετάρτη, 23 Μαρτίου 2011

Έργο και Κινητική ενέργεια στη σύνθετη κίνηση στερεού.

Ένας κύλινδρος ακτίνας R=1m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ο κύλινδρος έχει μια λεπτή εγκοπή βάθους 0,25m μέσα στην οποία έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Ασκούμε στο άκρο Α του νήματος μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=8,5N μέχρι το άκρο Α να μετατοπιστεί κατά xΑ=4m, όπως φαίνεται στο σχήμα:
i)  Πόση ενέργεια μεταφέρεται στο στερεό μέσω του έργου της δύναμης;
ii)  Η επιτάχυνση ενός σημείου Ρ (επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο) είναι:
όπου αΑ η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.
iii) Η μεταφορική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου θα είναι ίση με:
α)  16J,              β) 25J           γ) 34J
iv) Το έργο της ασκούμενης ροπής  θα είναι ίσο με:
α) 9J,                  β) 18J,           γ)  22J.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι= ½ ΜR2.

Τρίτη, 22 Μαρτίου 2011

Κύριε, Κύριε τι γίνεται αν ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΚΑΙ Ο….ΤΟΙΧΟΣ;

Μικρή μπάλα (μπαλάκι του τένις) μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και προσκρούει κάθετα πάνω σε τοίχο ο οποίος κινείται επίσης με οριζόντια ταχύτητα u προς την μπάλα. Θεωρείστε ότι η μάζα Μ του τοίχου είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα της μπάλας. Οι ταχύτητες υ και u αναφέρονται σε ακίνητο παρατηρητή και ότι η κρούση είναι ελαστική.
     (α) Να βρεθεί η ταχύτητα της μπάλας αμέσως μετά την κρούση.
     (β) Μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια της μπάλας; Αν ναι, να ερμηνεύσετε αυτή την μεταβολή.

Απάντηση:

Κρούσεις κυκλικών δίσκων

ΘΕΜΑ 4ο
Κυκλικοί δίσκοι Δ1 και Δ2 μπορούν να κινούνται εφαπτόμενοι οριακά σε οριζόντια αεροτράπεζα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η τριβή θεωρείται αμελητέα.
Καλύπτουμε την περιφέρεια των δίσκων με κατάλληλο περίβλημα ώστε οι μεταξύ τους κρούσεις να θεωρούνται ελαστικές.
Α. Εκτοξεύουμε τους δίσκους με αντίθετες ταχύτητες, ώστε να συγκρουστούν κεντρικά. Να υπολογίσετε το λόγο μαζών λ=m1/m2 των δίσκων, ώστε ο δίσκος Δ1  να ακινητοποιηθεί μετά την κρούση.
Β. Εκτοξεύουμε το δίσκο Δ1 προς τον δίσκο  Δ2 που ηρεμεί, ώστε να συγκρουστούν κεντρικά. Να υπολογίσετε το λόγω μαζών λ=m1/m2 των δίσκων ώστε ο δίσκος Δ2 να απορροφήσει τα 8/9 της κινητικής ενέργειας του δίσκου Δ1.
Γ.  Επιλέγουμε δίσκους με λόγο μαζών λ=m1/m2 = ½. Εκτοξεύουμε το δίσκο  Δ1 με κινητική ενεργεία Κ0=3J προς τον δίσκο Δ2 που ηρεμεί, ώστε να συγκρουστούν έκκεντρα. Μετά την κρούση ο δίσκος Δ1 έχει κινητική ενέργεια Κ1=1J. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι ταχύτητες των δίσκων μετά την κρούση.
Οι δίσκοι θεωρούνται ομογενή επίπεδα στερεά σώματα και εκτελούν μεταφορικές κινήσεις στο ίδιο επίπεδo. 

Κυριακή, 20 Μαρτίου 2011

Στροφορμή και ρυθμός μεταβολής της.

Μια λεπτή δοκός μάζας m1=10kg, ηρεμεί στηριζόμενη σε δύο τρίποδα Α και Β, τα οποία απέχουν εξίσου από τα άκρα της. Πάνω στη δοκό, στη θέση του τρίποδου Α ηρεμεί ένας κύλινδρος μάζας Μ=10kg και ακτίνας 0,4m. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης F=120N, όπως στο σχήμα, οπότε αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και μετά από 1s φτάνει στο άλλο τρίποδο Β. Στη διάρκεια της κίνησης η δοκός δεν κινείται.
i)   Να υπολογιστεί η απόσταση (ΑΒ)
ii)  Για τη στιγμή που ο κύλινδρος περνά από το Β να βρεθούν:
α)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του.
β)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα που περνά από το σημείο επαφής του κυλίνδρου με τη δοκό στην αρχική του θέση και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος.
iii) Μεταξύ της δοκού και του Α τρίποδου δεν αναπτύσσεται τριβή.
α) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και Β τρίποδου, ώστε η δικός να παραμένει ακίνητη στη διάρκεια του πειράματος;
β)  Ποιο είναι το μέγιστο μήκος της δοκού, ώστε κατά την κίνηση του κυλίνδρου κατά μήκος της, να μην ανατραπεί;
Δίνεται η ροπή αδράνειας για τον κύλινδρο Ι= ½ ΜR2 ως προς τον άξονα περιστροφής του και g=10m/s2.

Γ ΙΟΓ ΙΟ-ΡΑΒΔΟΣ-ΧΑΛΑΡΩΣΗ ΝΗΜΑΤΟΣ (ΠΛΑΓΙΑ ΘΕΣΗ)

Θέμα 2ο – Κύλιση χωρίς ολίσθηση, μετάβαση από οριζόντιο σε πλάγιο επίπεδο

Μια σφαίρα κυλά χωρίς να γλιστρά σε οριζόντιο επίπεδο και το κέντρο μάζας της έχει ταχύτητα υο . Κάποια στιγμή συναντά πλάγιο επίπεδο κλίσης φ=60ο οπότε αρχίζει να ανέρχεται σε αυτό συνεχίζοντας την κύλιση χωρίς ολίσθηση*. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της γίνεται ακαριαία:
α) υ = υο β) υ = 9υο /14 γ) υ = 2υο /5
Θεωρείστε γνωστό ότι:
Η στροφορμή της σφαίρας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο κύλισης, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α της πρώτης επαφής της σφαίρας με το πλάγιο επίπεδο, υπολογίζεται ως το άθροισμα της στροφορμής του κέντρου μάζας της σφαίρας ως προς τον άξονα αυτό και της ιδιοστροφορμής της σφαίρας, δηλαδή της στροφορμής ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της

Στρεφόμενος κύλινδρος έρχεται σε επαφή με ακίνητο



Ένας κύλινδρος στρέφεται χωρίς τριβές περί κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα 40 rad/s . Έχει μάζα 4kg και ακτίνα 0,2 m. Φέρεται σε επαφή με ακίνητο κύλινδρο ίδιας μάζας και ακτίνας 2R που επίσης στρέφεται χωρίς τριβές περί κατακόρυφο άξονα. Για να κρατηθούν σε επαφή οι δυο κύλινδροι ασκούμε σε κάθε άξονα δύναμη της οποίας η συνιστώσα κατά την διεύθυνση της διακέντρου είναι 8 N Ο συντελεστής τριβής μεταξύ των δύο κυλίνδρων είναι 0,5
1. Να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση κάθε κυλίνδρου.
2. Σε πόσο χρόνο θα πάψει η μεταξύ τους ολίσθηση;
3. Πόση είναι η απώλεια μηχανικής ενέργειας;
4. Με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η στροφορμή του συστήματος που αποτελούν οι κύλινδροι;
5. Πόση είναι η κάθετη στη διάκεντρο συνιστώσα της δύναμης κάθε χεριού;

Σάββατο, 19 Μαρτίου 2011

Μια ταλάντωση και ένα γιο-γιο....

ΘΕΜΑ 4ο

Μικρό σώμα Σ μάζας m=1kg εφάπτεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι δέσμιο.
Στερεό Π αποτελείται από κολλημένους ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R και 2R, R=1m.Οι περιφέρειες των δίσκων είναι τυλιγμένες με αβαρή μη εκτατά νήματα μεγάλου μήκους. Το νήμα της εσωτερικής περιφέρειας έχει το ελεύθερο άκρο του δεμένο σε οροφή. Το νήμα της εξωτερικής περιφέρειας συνδέει το σώμα Σ με το στερεό Π μέσω αβαρούς τροχαλίας Τ, όπως στο σχήμα.
Α. Η διάταξη ισορροπεί. Τα τμήματα των νημάτων που συγκρατούν το στερεό Π είναι κατακόρυφα και το τμήμα του νήματος που συγκρατεί το σώμα Σ είναι οριζόντιο. Το ελατήριο έχει υποστεί επιμήκυνση Δℓ-10cm.Nα υπολογίσετε τη μάζα του στερεού Π.
Β. Τη χρονική στιγμή t0=0 κόβουμε τα άκρα του νήματος της εξωτερικής περιφέρειας. Το στερεό Π κατέρχεται περιστρεφόμενο περί του κέντρου του, καθώς  το νήμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση παραμένοντας κατακόρυφο. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Β1.Να υπολογίσετε το μήκος νήματος που έχει ξετυλιχθεί από το στερεό Π τη στιγμή που το σώμα Σ αποκτά μέγιστη ταχύτητα δεύτερη φορά.
Β2.Να υπολογίσετε την αύξηση της στροφορμής σπίν του στερεού Π για κάθε μια πλήρη ταλάντωση του σώματος Σ.
Η διάταξη βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Η ροπή αδράνειας του στερεού Π ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του είναι I=MR2. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει. Για τις πράξεις θεωρήστε: g=10m/s2..

Τάση νήματος και τριβή.

Μια κυκλική πλατφόρμα έχει τεθεί σε περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω1=1rad/s. Πάνω στην πλατφόρμα βρίσκονται δυο παιδιά μάζας 50kg το καθένα, τα οποία εξασφαλίζουν την περιστροφή τους μαζί με την πλατφόρμα, τραβώντας ένα νήμα μήκους 4m, όπως στο σχήμα, με δύναμη μέτρου F=70Ν. Τα παιδιά βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις ως προς το κέντρο Ο της πλατφόρμας. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ των υποδημάτων των παιδιών και της πλατφόρμας είναι μs=μ=0,3.
i)  Να σχεδιάστε τις δυνάμεις τριβής που ασκούνται στα παιδιά και να υπολογίστε τα μέτρα τους.
ii) Σε μια στιγμή τα παιδιά τραβώντας το νήμα αρχίζουν να πλησιάζουν και σταματούν σε απόσταση 1m από το Ο. Στη θέση αυτή συνεχίζουν να τραβούν το νήμα με δύναμη του ίδιου μέτρου. Πόσο είναι τώρα το μέτρο της τριβής που ασκείται σε κάθε παιδί;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ιπ=200kg∙m2 και g=10m/s2.

Θέμα 2ο – Άνθρωπος πάνω σε κυκλική εξέδρα

Ένας άνθρωπος βρίσκεται στην περιφέρεια κυκλικής εξέδρα η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της. Αρχικά, ο άνθρωπος και η εξέδρα ηρεμούν.
Α) Κάποια στιγμή ο άνθρωπος αρχίζει να κινείται στη διεύθυνση της ακτίνας που διέρχεται από την αρχική του θέση, προς το κέντρο της εξέδρας.
i) Η εξέδρα θα αρχίσει να στρέφεται αντίρροπα από τους δείκτες του ρολογιού
ii) Η εξέδρα θα αρχίσει να στρέφεται ομόρροπα με τους δείκτες του ρολογιού
iii) Η εξέδρα θα παραμείνει ακίνητη

Δίσκοι με ιμάντα και ροπές

Από τα κέντρα των ομογενών δίσκων του σχήματος διέρχονται λείοι, οριζόντιοι και ακλόνητοι άξονες. Ο δίσκος Α έχει ακτίνα R, μάζα m και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του ΙΑ=1/5 kgm2, ενώ ο Β ακτίνα 2R μάζα 4m και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του ΙΒ=16ΙΑ. Οι δίσκοι συνδέονται με αβαρή και μη εκτατό ιμάντα που δεν ολισθαίνει πάνω τους. Τη χρονική στιγμή t0=0 στο δίσκο Α με τη βοήθεια ζεύγους δυνάμεων ασκείται σταθερή ροπή, η οποία έχει μέτρο τ=5Nm και κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδό του. Τη χρονική στιγμή t ο δίσκος Β έχει εκτελέσει μια περιστροφή.

Να υπολογιστούν:

α. Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου Α.

β. Η συνισταμένη ροπή στο δίσκο Α, ως προς τον άξονά του.

γ. Το έργο της ροπής του ζεύγους στη διάρκεια 0-t και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου Α τη χρονική στιγμή t.

δ. Το ποσοστό του έργου της ροπής του ζεύγους που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του δίσκου Α στη χρονική διάρκεια 0-t.

ε. Ο ρυθμός παραγωγής έργου (ισχύς) της ροπής του ζεύγους και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου Α τη χρονική στιγμή t.


Απάντηση

Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2011

Στροφορμή. Μερικές περιπτώσεις.

1) Στο διπλανό σχήμα ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του, ενώ ένα υλικό σημείο Σ, μάζας m, απέχει απόσταση r από το κέντρο Ο του δίσκου.
i)  Σημειώστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα:
α) Γωνιακή ταχύτητα του Σ.
β) Γραμμική ταχύτητα του Σ
γ)  Στροφορμή του Σ ως προς το σημείο Ο.
δ) Στροφορμή του Σ ως προς (κατά) τον άξονα z.
ii) Τα μέτρα των αντίστοιχων μεγεθών είναι:
υγρ= …………. Lο=……………… Lz= …………
2)  Έστω ένα σημείο Α του άξονα z,  όπου (ΑΟ)=r.
i)  Σημειώστε στο σχήμα τη στροφορμή του υλικού σημείου Σ ως προς το Α και υπολογίστε το μέτρο της.
ii)  Υπολογίστε το μέτρο της προβολής της στροφορμής του Σ ως προς το Α, πάνω στον άξονα z.
iii)  Για τη στροφορμή του υλικού σημείου Σ ως προς το σημείο Α ισχύει: 
Όπου Ι=m(ΑΣ)2 και ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου  Είναι σωστή η παραπάνω σχέση;
3) Ένα  άλλο υλικό σημείο Σ1  μάζας m1 κινείται κατακόρυφα και κάποια στιγμή έχει ταχύτητα υ, απέχοντας κατά r από τον άξονα περιστροφής του δίσκου.
i)  Σημειώστε στο σχήμα το διάνυσμα της στροφορμής του Σ1 ως προς το σημείο Ο. Από ποια εξίσωση βρίσκουμε το μέτρο της;
ii)  Πόση είναι η στροφορμή του Σ1 ως προς (κατά) τον άξονα z;
iii) Να βρεθεί το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του Σ1 ως προς το  σημείο Ο. Να σχεδιάστε στο σχήμα το διάνυσμα του παραπάνω ρυθμού.


Μπορείτε να δείτε και μια παλιότερη ανάρτηση:

Τετάρτη, 16 Μαρτίου 2011

φαινόμενο Doppler- διάδοση ήχου

Ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται σε απόσταση 3400 m από αρχικά ακίνητο ασθενοφόρο. Την χρονική στιγμή to=0 το ασθενοφόρο αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση α=1 m/s2 , με κατεύθυνση προς τον παρατηρητή και ταυτόχρονα αρχίζει να λειτουργεί η σειρήνα του που εκπέμπει ήχο συχνότητας fs=930 Ηz.. To ασθενοφόρο επιταχύνεται μέχρι την χρονική στιγμή t3=30 s και στην συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα.   H ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υηχ=340 m/s.
1)  Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής την χρονική στιγμή t1=10 s ;
2)  Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής την χρονική στιγμή t2=20 s ;
3)  Να προσδιορίσετε το χρονικό διάστημα που ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας να έχει την μεγαλύτερη συχνότητά του.