Κυριακή, 27 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία και επιβράδυνση στερεών.

Ένας ομογενής κύλινδρος μάζας Μ=80kg και ακτίνας  R=1m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0=10rad/s, γύρω από τον άξονά του, που  συνδέει τα κέντρα των  δύο του βάσεων, όπως στο σχήμα. 
Σε μια στιγμή φέρνουμε σε επαφή με τον κύλινδρο μια ομογενή δοκό μάζας m=30kg και μήκους 4m, το άκρο της οποίας συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Στη θέση αυτή η δοκός είναι οριζόντια, ενώ (ΑΓ)=1m. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μ=0,2 και g=10m/s2,
i)   Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου.
ii)  Πόσες περιστροφές θα εκτελέσει ο κύλινδρος μέχρι να σταματήσει;
iii) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τη δοκό η διεύθυνση της δύναμης που ασκείται από την άρθρωση, στη διάρκεια της επιβράδυνσης του κυλίνδρου.
Δίνεται για τον κύλινδρο Ιcm= ½ MR2.

Παρασκευή, 25 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία και τριβές.

Η λεπτή ομογενής δοκός ΑΓ του σχήματος έχει μήκος 6m, μάζα Μ=2kg και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη στα σημεία Δ και Ε σε περιστρεφόμενο κύλινδρο και σε τρίποδο. Τα σημεία Δ και Ε απέχουν 1m από τα άκρα της ράβδου. Ένα σώμα Σ μάζας 0,5kg, που θεωρείται υλικό σημείο, εκτοξεύεται για t=0 από το  σημείο Δ και φτάνει μέχρι το σημείο Ε, όπου σταματά. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης, τόσο μεταξύ δοκού και σώματος Σ, όσο και μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι ίσος με μ=0,2 και σε όλη τη διάρκεια της κίνησης η δοκός ισορροπεί.
i)   Ποια η αρχική ταχύτητα του σώματος Σ και πόσο χρόνο διαρκεί  η κίνησή του;
ii)  Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από το τρίποδο σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση από 0-3s.
iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ δοκού και τρίποδου για να ισορροπεί η δοκός;
Αλλά και σε Word.

Πέμπτη, 24 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία στερεού. Ερωτήσεις.

1)  Η ράβδος του σχήματος ισορροπεί δεμένη με νήμα που σχηματίζει γωνία θ=30°. Τότε και η δύναμη από την άρθρωση σχηματίζει γωνία 30° με τη ράβδο.
2)   Στην παραπάνω ράβδο κρέμεται μέσω νήματος μια σφαίρα. Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχει σχεδιαστεί σωστά η δύναμη από την άρθρωση;

3)  Ο κύλινδρος του σχήματος ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο δεμένος με νήμα παράλληλο στο επίπεδο.
Ποια πρόταση είναι σωστή.
i) το επίπεδο είναι λείο.
ii)  Στον κύλινδρο ασκείται τριβή με φορά προς τα πάνω.
iii) Στον κύλινδρο ασκείται τριβή με φορά προς τα κάτω.

Τετάρτη, 23 Φεβρουαρίου 2011

Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται;

Σε ασκήσεις του σχολικού βιβλίου έχουμε ράβδους από την οποία κρέμονται κάποια βαράκια ή ένας ελαιοχρωματιστής είναι πάνω σε μια δοκό και παίρνοντας τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό σημειώνουμε συνήθως και τα βάρη των άλλων σωμάτων. Προφανώς αυτό είναι λάθος. Το βάρος οποιουδήποτε σώματος ασκείται στο ίδιο το σώμα και όχι κάπου αλλού. Εξάλλου πόσο προσοχή δίνουμε στη φράση του βιβλίου για την ισορροπία στερεού: «Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων…… επομένως η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο»;
Πάνω στο τελευταίο σημείο μπορείτε να δείτε και την ανάρτηση: Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση.
…………………………………………
Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Πάνω στη ράβδο στηρίζεται ένα σώμα Σ, μάζα m=2kg, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, σε απόσταση από το άκρο Α ίση με ℓ/4. Το άλλο άκρο Β της ράβδου είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα, με αποτέλεσμα η ράβδος να μην στρέφεται.
Το σύστημα αυτό βρίσκεται μέσα σε ένα ανελκυστήρα (ασανσέρ) ο οποίος κινείται προς τα πάνω με επιτάχυνση α=2m/s2.
i)   Να υπολογίστε την τάση του νήματος.
ii)  Να εξετάσετε την ορθότητα της πρότασης: «Για  να υπολογίσουμε τη δύναμη που  δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής, αρκεί να πάρουμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το άκρο Β ίσο με μηδέν»
Δίνεται g=10m/s2.

Δευτέρα, 21 Φεβρουαρίου 2011

Επιτάχυνση στη μεταβαλλόμενη κύλιση χωρίς ολίσθηση

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ένας τροχός που εκτελεί μεταβαλλόμενη κύλιση χωρίς ολίσθηση. Η σύνθετη αυτή κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής με επιτάχυνση α(cm) και μιας περιστροφικής κίνησης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το κέντρο του, με επιτάχυνση α(γων).
Τις κινήσεις αυτές έχει αποδειχτεί ότι ο ακίνητος παρατηρητής δικαιούται να αποδώσει στον τροχό και να μελετήσει κάθε μία ξεχωριστά, εφόσον όμως περιοριστεί μόνο σε συμπεράσματα ταχυτήτων και επιταχύνσεων υλικών σημείων του τροχού.
Όταν λοιπόν ο ακίνητος παρατηρητής υποθέσει ότι ο τροχός εκτελεί μόνο τη μεταφορική κίνηση, θα συνδέσει κάθε σημείο του τροχού με επιτάχυνση α(cm). Την επιτάχυνση αυτή δηλαδή θα έβλεπε ο ακίνητος παρατηρητής αν ο τροχός εκτελούσε μόνο μεταφορική κίνηση.
Όταν ο ακίνητος παρατηρητής υποθέσει ότι ο τροχός εκτελεί μόνο την περιστροφική κίνηση, τότε θα αντιλαμβανόταν για κάθε σημείο του τροχού, εκτός από το κέντρο του, λόγω της κυκλικής κίνησης που εκτελεί..................

Τετάρτη, 16 Φεβρουαρίου 2011

«Στερεό εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση». Έχει αυτή η έκφραση νόημα;

Έχουν γίνει αρκετές τοποθετήσεις για το αν η μεταφορική και η στροφική κίνηση ενός στερεού, όταν αυτό κάνει σύνθετη κίνηση, είναι πραγματικές κινήσεις που γίνονται ταυτόχρονα ή είναι δύο φανταστικές συνιστώσες κινήσεις μιας και μοναδικής κίνησης που τις χρησιμοποιούμε απλά διότι έτσι διευκολύνεται η μελέτη της κίνησης του στερεού.
Έχει τεθεί παρόμοιο θέμα  παλαιότερα με τις «συνιστώσες κινήσεις» και συμφωνώ κι εγώ με τη θέση ότι είναι λάθος να θεωρούμε π.χ. ότι η βολή είναι «σύνθεση δύο ανεξάρτητων ταυτόχρονων κινήσεων».
Περί αυτού πρόκειται όμως στην περίπτωση της κίνησης του στερεού;
Το θέμα αυτό με προβλημάτισε κι εμένα παλαιότερα, αλλά και τώρα, με αφορμή τη σχετική συζήτηση που διεξάγεται στο δίκτυο (ΕΔΩ).
Θεωρώ τις παρατηρήσεις που μετέφερε ο Ξενοφώντας (ΕΔΩ) από τη συζήτησή του με τον επίτιμο καθηγητή του ΑΠΘ κ. Γ. Μπόζη ως πολύ εύστοχες και σημαντικότατες και πιστεύω ότι αποτελούν μια εξαιρετική αφετηρία για την κατανόηση της συμπεριφοράς του στερεού.
Σ’ αυτή την ανάρτηση προσπαθώ να γράψω μερικές σκέψεις μου πάνω στο θέμα, χωρίς βέβαια να θεωρώ τον εαυτό μου ειδικό στην κίνηση του στερεού.
Έχω την αίσθηση ότι οι ρίζες του προβλήματος είναι οι εξής:
Η μελέτη της κίνησης του στερεού θεμελιώνεται μέσα από μερικά βασικά θεωρήματα, στα οποία έχω αναφερθεί και παλαιότερα (ΕΔΩ).
Μεταξύ των πιο σημαντικών είναι το θεώρημα του Chasle, σύμφωνα με το οποίο:
«Η γενική κίνηση ενός στερεού μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από μια μεταφορά και μια περιστροφή…» ….


Συνέχεια, ΕΔΩ

Κυριακή, 13 Φεβρουαρίου 2011

O 2os Νόμος και η κινητική ενέργεια για απομονωμένο σύστημα υλικών σωμάτων


Δείτε τη συνέχεια...

Τέσσερις αποδείξεις μιας σχέσης

Η ολική κινητική ενέργεια γράφεται σαν άθροισμα δύο προσθετέων. Με ποιο δικαίωμα ;

Κινηματική στερεού.

Ένα στερεό αποτελείται από δύο ομογενείς, από διαφορετικό υλικό ράβδους, οι οποίες είναι συνδεδεμένες, όπως στο σχήμα. Οι  ράβδοι έχουν μήκη (ΑΒ)=0,8m και (ΓΔ)= 1,2m. Το  στερεό κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο εκτελώντας σύνθετη κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που περνά από το κέντρο μάζας του Κ, όπου (ΚΓ)=0,3m και σε μια στιγμή βρίσκεται σε μια θέση, όπου τα σημεία Μ και Δ, όπου Μ το μέσον της ράβδου, έχουν οριζόντιες ταχύτητες με μέτρα υΜ=1m/s και υΔ=5m/s, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Γ της  ράβδου ΔΓ.
ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β.
iii) Να βρεθεί η θέση ενός σημείου Ο του στερεού η ταχύτητα του οποίου είναι μηδενική. Ποια η γωνία μεταξύ της (ΟΒ) και της ταχύτητας του άκρου Β;

Τετάρτη, 9 Φεβρουαρίου 2011

Κινηματική στερεού σώματος - φύλλο εργασίας

Ένας συμπαγής και ομογενής τροχός ακτίνας 40 cm, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας 10 m/s, πάνω σε ακίνητο οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
α) Η κίνηση του τροχού μπορεί να θεωρηθεί.......
β)  ...............
γ) Η ταχύτητα του σημείου Β της περιφέρειας του τροχού, το οποίο απέχει 60 cm απο το οριζόντιο  
    επίπεδο είναι...............
Η συνέχεια απο εδώ

Τρίτη, 8 Φεβρουαρίου 2011

Μια σύνθετη κίνηση και μια κρούση.

Μια ομογενής ράβδος  μήκους ℓ=1m και μάζας 1kg κινείται οριζόντια στην επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης, χωρίς τριβές και σε μια στιγμή, όπου τα άκρα της έχουν ταχύτητες της ίδιας φοράς με μέτρα υΑ=6m/s και υΒ=2m/s, συγκρούεται ελαστικά με μια μικρή σφαίρα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο, μάζας 1kg, η οποία ήταν ακίνητη, όπως στο σχήμα. Η σφαίρα Σ κτυπά τη ράβδο στο μέσον της Ο.
i)   Υπολογίστε την ταχύτητα του μέσου Ο, καθώς και την κινητική ενέργεια της ράβδου, πριν την κρούση.
ii)   Να βρεθούν οι κινήσεις που θα εκτελέσουν τα δυο σώματα μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ2/12.

Ένα ωριαίο διαγώνισμα στα κύματα.

Β) Δίνονται δύο στιγμιότυπα ενός στάσιμου κύματος που απέχουν χρονικά κατά Τ/4. Με ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

i) Στο στιγμιότυπο (1) η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι μηδενική.

ii) Το σημείο Γ βρίσκεται στη θέση x= λ/2 και στο στιγμιότυπο (2) έχει ταχύτητα με φορά προς τα πάνω και μέτρο 2πΑf, όπου f η συχνότητα και λ το μήκος κύματος των κυμάτων, από τη συμβολή των οποίων προέκυψε το στάσιμο κύμα.

Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

Τι κοινό έχει μια πόρτα, ένα … ρόπαλο του baseball και ένα φυσικό εκκρεμές; Κέντρο κρούσης, κέντρο αιώρησης


Σε πόση απόσταση από τον άξονα περιστροφής μιας πόρτας πρέπει να στερεώσουμε ένα εμπόδιο (κόντρα ή … ελληνιστί stopper), ώστε να τερματίζεται η διαδρομή της;...
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...

ΡΑΒΔΟΣ-ΝΗΜΑ-ΣΩΜΑ-ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ

Προσδιορίστε σε ποια απόσταση, πρέπει να τοποθετηθεί το νήμα, ώστε όταν το σύστημα αρχίσει να κινείται η σφαίρα να εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Δευτέρα, 7 Φεβρουαρίου 2011

Τη στιγμή που ακουμπά στο έδαφος No 2


Στεφάνι μάζας 2kg και ακτίνας 0,3 m είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο λείο δάπεδο. Στο στεφάνι είναι συνδεδεμένο στο σημείο Α σημειακό αντικείμενο μάζας m = 1kg. Αρχικά η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο.
· Βρείτε την ταχύτητα του κέντρου του στεφανιού την στιγμή που το σημείο Α εφάπτεται με το δάπεδο.
· Ποια είναι η μετατόπιση του κέντρου του στεφανιού την ίδια στιγμή ;
· Βρείτε την στιγμή εκείνη την επιτάχυνση του σημείου Α και την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς του.

Κυριακή, 6 Φεβρουαρίου 2011

Μια σφαίρα σε σωλήνα.

Η άσκηση  αυτή αφιερώνεται στο Γιάννη Κυριακόπουλο. Με αφορμή μια απάντησή μου σε σχόλιο, πάνω στην περιστροφή στερεού, δήλωσε ότι είναι καλή ιδέα για μια άσκηση. Αφιερώνεται και στον Χρήστο Ελευθερίου, αυτός θα καταλάβει γιατί, δεν χρειάζεται να το ομολογήσω!!!
……………………………..
Ένας σωλήνας μήκους ℓ1=6m, μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο και είναι ακίνητος. Τοποθετούμε στο εσωτερικό του μια σφαίρα μάζας 4kg την οποία δένουμε με ελατήριο σταθεράς k=50Ν/m με μήκος 2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στη βάση του σωλήνα. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άλλο άκρο του σωλήνα Α οριζόντια δύναμη  σταθερού μέτρου F=10Ν, η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον άξονα του σωλήνα.
 Έτσι το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται. Μετά από λίγο καταργούμε τη δύναμη και παρατηρούμε ότι τελικά*  η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και το μήκος του ελατηρίου είναι πλέον 4m. Αν δεν υπάρχουν τριβές και η ροπή αδράνεια του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=120kg∙m2, ζητούνται:
i)   Η τελική γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα.
ii)  Ο αριθμός των περιστροφών του σωλήνα για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F.
iii) Σε μια στιγμή ενώ έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, η σφαίρα λύνεται από το ελατήριο. Ποια θα είναι τελικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα;
*Τελικά: Η σφαίρα θα εκτελεί για αρκετό  διάστημα μια ιδιόμορφη ταλάντωση μέχρι που να αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση.

Τη στιγμή που ακουμπά στο έδαφοε


Στεφάνι μάζας 10 kg και ακτίνας 0,5m είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Στον κύλινδρο είναι συνδεδεμένο στο σημείο Α σημειακό αντικείμενο μάζας 2 kg. Αρχικά η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και μεταξύ δαπέδου – στεφανιού δεν παρατηρείται ολίσθηση.
· Βρείτε την ταχύτητα του κέντρου του στεφανιού την στιγμή που το σημείο Α εφάπτεται με το δάπεδο.
· Ποια είναι η μετατόπιση του κέντρου του στεφανιού την ίδια στιγμή;
· Βρείτε την στιγμή εκείνη την επιτάχυνση του σημείου Α.

Πέμπτη, 3 Φεβρουαρίου 2011

Με ποια ταχύτητα θα φτάσει στο άκρο του σωλήνα ;

Οριζόντιος σωλήνας ΟΑ με μάζα 6kg και μήκος 3m μπορεί να περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα στο σημείο Ο. Στο εσωτερικό του βρίσκεται σώμα Σ μάζας 2kg δεμένο με το αβαρές νήμα ΟΣ μήκους 1m. Μεταξύ του σωλήνα και του σώματος Σ δεν υπάρχει τριβή. Αρχικά ο σωλήνας είναι ακίνητος και την χρονική στιγμή μηδέν δέχεται στο άκρο Α οριζόντια δύναμη F σταθερού μέτρου 20N η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον σωλήνα.

·         Να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά το σύστημα.
·         Την χρονική στιγμή 2s κόβεται το νήμα και παύει η δράση της F. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ την στιγμή αυτή και το όριο θραύσης του νήματος.
·         Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα την στιγμή που το σώμα Σ φτάνει στο σημείο Α.
·         Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ την στιγμή αυτό φτάνει στο σημείο Α.