Τρίτη, 31 Αυγούστου 2010

Μια ράβδος και δύο σώματα.

Η ράβδος AΓ του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ= 4Κg και μήκος L=4 m.Στο άκρο Γ της ράβδου είναι   κολλημένο σώμα μάζας  m1=0,5Kg  και μέσω ιδανικού  κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=  200Ν/m ισορροπεί δεύτερο σώμα μάζας m2= 0,5 kg  όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια δύο υποστηριγμάτων στα σημεία Α και Δ με την απόσταση ΑΔ=3  m.Την χρονική στιγμή t=0  το σώμα μάζας m2 εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα U0.To σύστημα μόλις και καταφέρνει να μην χάνει την επαφή του με το σημείο Α του υποστηρίγματος. Να βρεθούν:
A)   H αρχική ταχύτητα U0
B)   Οι χρονικές εξισώσεις των κατακόρυφων δυνάμεων που δέχεται η ράβδος από τα υποστηρίγματα Α και Δ. Μπορεί να χαθεί η επαφή της ράβδου με το υποστήριγμα Δ.
Γ)   Θα μπορούσε να εξελιχθεί το φαινόμενο χωρίς το σώμα m1 να είναι κολλημένο στο σημείο Γ;

Κατακόρυφο ελατήριο

Σώμα μάζας m=2 Kg ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=200 Ν/m. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα κάτω το σώμα κατά Δx= 0,2 m και τη χρονική στιγμή t= 0 το αφήνουμε ελεύθερο.
1) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει  απλή αρμονική ταλάντωση.   
2) Να βρείτε το πλάτος και την περίοδο  της ταλάντωσης αυτής.
3) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε  τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.
4) Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το σώμα όταν περνά από τη θέση ισορροπίας και από τη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μηκος.
5) Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης του ελατηρίου. Σε ποια θέση η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται μέγιστη και πόση είναι αυτή;
6) Να βρείτε τις πρώτες δύο χρονικές στιγμές που το σώμα διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους. Ποιο είναι το χρονικό διάστημα σε χρόνο μιας περιόδου όπου το ελατήριο είναι συσπειρωμένο;
7) Να γραφούν οι εξισώσεις της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να γινουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.
8) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς και η δύναμη του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t=2010π.
9) Να βρείτε το έργο της δύναμης του ελατηρίου από την t= 0 μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος για πρώτη φορά.
10) Ποια είναι η μεταβολή της ορμής στο χρονικό διάστημα από t1=π/6 s έως t2=2π/3 s

Δυο ελατήρια και μια ράβδος.

Στο παρακάτω σχήμα η  αβαρής ράβδος ΑΒ ισορροπεί  συνεχώς  οριζόντια με τη  βοήθεια κατακόρυφου υποστηρίγματος που βρίσκεται στο μέσο Μ της ράβδου και την βοήθεια κατάλληλης κατακόρυφης δύναμης FB που ασκείται στο σημείο Β της ράβδου.
Πάνω στα κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές Κ1=100Ν/m  και Κ2=400N/m και με το ίδιο φυσικό μήκος lo ισορροπούν δύο σώματα με μάζες m1 =1 kg   και m2= 4 kg. Tην χρονική στιγμή t=0 φέρνουμε τα ελατήρια στο φυσικό τους μήκος και τα σώματα με μάζες m1 και m2 αφήνονται ταυτόχρονα ελεύθερα ενώ η ράβδος ΑΒ με την βοήθεια της εξωτερικής δύναμης συνεχίζει να παραμένει  ακίνητη σε όλη της διάρκεια της ταλάντωσης των δύο σωμάτων.
A)  Να βρεθεί η  εξίσωση της δύναμης FB σε συνάρτηση με το χρόνο.
Β)  Αν τα δύο σώματα θεωρηθούν σημειακά να  αποδειχθεί ότι η μεταξύ τους απόσταση παραμένει σταθερή.

Δύο κύματα και μια κρούση.

Τα κατακόρυφα  ιδανικά ελατήρια του παρακάτω σχήματος έχoυν σταθερά Κ=100π2N/m. Στο κάτω άκρο του κάθε ελατηρίου δένεται σώμα μάζας  m=1Kg και το  κάθε σώμα ισορροπεί σε ύψος Η πάνω από το έδαφος. Δύο οριζόντιες ελαστικές χορδές  από διαφορετικό υλικό δένονται στο κάθε σώμα όπως στο παρακάτω σχήμα. Eκτοξεύουμε  ταυτόχρονα το κάθε σώμα μάζας m με κατάλληλη ταχύτητα μέτρου U με φορά προς τα πάνω και τη χρονική στιγμή t=0  τα σώματα μόλις και φτάνουν στη θέση φυσικού μήκους του κάθε ελατηρίου.
Την στιγμή t=0 εκτοξεύουμε κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα μέτρου   Uo=2,5m/secδεύτερο σώμα μάζας Μ=2Kg από το έδαφος και την χρονική στιγμή t=0,25sec  τα τρία σώματα συγκρούονται ελαστικά ενώ το κέντρο μάζας των δύο σωμάτων μάζας m και το κέντρο μάζας του σώματος μάζας Μ βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Στις δύο  μεγάλου μήκους ελαστικές χορδές μπορούν να διαδίδονται εγκάρσια  αρμονικά κύματα με ταχύτητες U1=5m/sec στην χορδή 1 και U2=10m/sec  στη χορδή 2.
Να χαραχθούν οι μορφές των χορδών τις χρονικές στιγμές
  A) t1=0
 B) t2= 0,25sec
 Γ) t3=0,35sec
To  κάθε σώμα  m να θεωρηθεί σημειακό και ότι τα δύο σώματα μάζας m δεν συγκρούονται μεταξύ τους. Να θεωρηθεί το π2=10