Δευτέρα, 28 Ιουνίου 2010

Πλαστική Κρούση σε Κινούμενο Τροχό

Στην καρότσα ενός ημιφορτηγού που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα V βρίσκεται τροχός μάζας Μ και ακτίνας R σε κατακόρυφο επίπεδο (σε ακλόνητη βάση πάνω στην καρότσα) που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Ο τροχός αρχικά δεν περιστρέφεται μέχρι που ένα κομμάτι πλαστελίνης μικρής μάζας m (πολύ μικρότερη από τη μάζα του τροχού και τη μάζα του ημιφορτηγού) πέφτει κατακόρυφα από κάποιο ύψος και συγκρούεται πλαστικά με τον τροχό στο ανώτερο σημείο του (δηλ. πάνω στην κατακόρυφη που περνά από το κέντρο του τροχού). Θεωρείστε ότι η ταχύτητά του ημιφορτηγού δεν μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της κρούσης.
α) Πόση είναι η στροφορμή του συστήματος λίγο πριν την κρούση ως προς το κέντρο του τροχού;
β) Θα στραφεί ο δίσκος; Αν ναι ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση;

Απάντηση

Απλή αρμονική ταλάντωση σε επιβραδυνόμενο όχημα

Στο λείο (οριζόντιο) δάπεδο ενός οχήματος βρίσκεται ένα σώμα Σ που συνδέεται με οριζόντιο ελατήριο το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο με το όχημα όπως στο σχήμα। Το όχημα που κινείται ευθύγραμμα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, έχει αρχικά σταθερή ταχύτητα υο και το σώμα Σ παραμένει ακίνητο ως προς το όχημα. Τη χρονική στιγμή t = 0 το όχημα αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση αο μέχρι να σταματήσει.
α) Βρείτε σε ποια θέση θα μπορούσε να ισορροπήσει το σώμα Σ ως προς το όχημα κατά τη διάρκεια της επιβράδυνσης.
β) Δείξτε ότι κατά τη διάρκεια της επιβράδυνσης το σώμα εκτελεί α.α.τ. ως προς το όχημα.
γ) Βρείτε την εξίσωση κίνησης του σώματος Σ ως προς το όχημα κατά τη διάρκεια της επιβράδυνσης, θεωρώντας ως x = 0 την αρχική θέση του σώματος και ως θετική φορά τη φορά κίνησης του οχήματος.
δ) Βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης του Σ όταν το όχημα σταματήσει.
Θεωρούνται γνωστά: η κυκλική ιδιοσυχνότητα ω του συστήματος «ελατήριο – σώμα Σ», η αρχική ταχύτητα υο και η επιβράδυνση αο. (Εφαρμογή : ω = 10 rad/s, υο = 72 km/h, αο = 5m/s2)

ΜΙΚΡΗ ΣΦΑΙΡΑ ΑΝΑΡΤΑΤΑΙ ΣΕ ΝΗΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΕΤΑΙ ΜΕ 2 ΕΛΑΤΗΡΙA

Κυριακή, 27 Ιουνίου 2010

Μια αναδίπλωση ράβδου για το νέο μας σπίτι.

Για να διπλώσει μία  λεπτή ράβδο από μαλακό σίδηρο  μάζας  m=2Kg και μήκους l=1m ακριβώς  στη μέση ο Μπάρμπα-Γιάννης ο σιδεράς χρειάζεται να δαπανήσει ελάχιστη χημική ενέργεια Emin=5J. Η ίδια ράβδος αφήνεται να πέσει ελεύθερα  έτσι ώστε το κέντρο μάζας  της να βρίσκεται σε ύψος Η=0,5 m πάνω από ακλόνητο  οριζόντιο καρφί Ο1 όπως στο παρακάτω σχήμα.
Μετά την κρούση της ράβδου με το οριζόντιο ακλόνητο καρφί η ράβδος διπλώνει  (χωρίς να αναπηδήσει) και σταματάει ακριβώς την στιγμή που τα δύο της κομμάτια γίνονται κατακόρυφα. Να βρεθούν:
A)   H θερμότητα που θα αναπτυχθεί κατά την κρούση του καρφιού με την ράβδο μέχρι να ισορροπήσει τελικά το σύστημα.
Β)   Την κινητική ενέργεια  της ράβδου την στιγμή που τα δύο κομμάτια της σχηματίζουν γωνία 90Ο .
Γ)  Αν η ράβδος  αρχικά βρισκόταν σε μεγαλύτερο του αρχικού ύψους θα άλλαζε η τελική κατάσταση ισορροπίας αν η κρούση των δύο κομματιών ήταν τώρα πλαστική;
Δίνεται  ημ45ο=0,7

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΟ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΛΛΟ

Κυριακή, 13 Ιουνίου 2010

Ελαστική κρούση στρεφομένης ράβδου με ακίνητο σώμα


Ράβδος μήκους ℓ και μάζας m1 ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να κινείται ή να περιστρέφεται ελεύθερα πάνω σ’ αυτό. Δίνουμε στη ράβδο γωνιακή ταχύτητα ωο ώστε να περιστρέφεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της. Τοποθετούμε στο τραπέζι σώμα μάζας m2 σε κατάλληλη θέση ώστε να συγκρουστεί με το άκρο της στρεφομένης ράβδου. Η κρούση είναι ελαστική, το σώμα ήταν ακίνητο αρχικά και κινείται μετά την κρούση μεταφορικά πάνω στο επίπεδο. Ζητούνται...

Η συνέχεια ΕΔΩ

Παρατηρήσεις στη μεταπτωτική κίνηση ενός στρεφόμενου τροχού


Η ανάρτηση αυτή έγινε με αφορμή:

1) Την πολύ καλή και ενδιαφέρουσα ανάρτηση του συναδέλφου Νίκου Σταματόπουλου με τίτλο «Μεταπτωτική κίνηση τροχού στον … αέρα» (ΕΔΩ).

2) Δύο παλαιότερες αναρτήσεις μου, από τις οποίες
η μία παραπέμπει απλώς σε μία από αυτές τις όμορφες διαλέξεις του καθηγητή Walter Lewin από το ΜΙΤ με θέμα τη στροφορμή, τη διατήρησή της και τις μεταπτωτικές κινήσεις (ΕΔΩ),

και η άλλη ασχολείται με την «Αλλαγή προσανατολισμού του άξονα περιστροφής ενός τροχού» (ΕΔΩ).

Το κοινό θέμα ήταν η συμπεριφορά ενός στρεφόμενου τροχού, αν ασκηθεί κάθετα στον άξονά του ένα ζεύγος δυνάμεων, η μελέτη δηλαδή της μεταπτωτικής κίνησης που τελικά κάνει ο τροχός.

Από τα σχόλια που ακολούθησαν την ανάρτηση του συναδέλφου Νίκου προέκυψαν δύο ερωτήματα.
Σε αυτά τα δύο σημεία προσπαθώ με την παρούσα ανάρτηση να δώσω μια ποιοτική ερμηνεία, στο βαθμό που είμαι σε θέση να το κάνω, διότι οι μεταπτωτικές κινήσεις είναι ένα αρκετά πολύπλοκο θέμα.
Οι απόψεις, σχόλια και παρατηρήσεις των συναδέλφων στο θέμα ευπρόσδεκτες.

Η συνέχεια ΕΔΩ

Πέμπτη, 10 Ιουνίου 2010

Μία άσκηση συγκέντρωσης για ταλαντώσεις

Δίνονται αντίστοιχα οι σταθερές Κ1 και Κ2 και τα φυσικά μήκη L1 και L2 των δύο ελατηρίων του σχήματος.
Τα ελατήρια έχουν περιοριστεί σε ένα κουτί μάζας M και ύψους h έτσι ώστε ανάμεσά τους να βρίσκεται ένα σώμα μάζας m. Όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα στο βαρυτικό πεδίο της γης με βαρυτική επιτάχυνση g. Αρχικά κρατάμε ακίνητο το κουτί σε αρκετή απόσταση από το έδαφος και το σώμα ισορροπεί. 
α) Να υπολογιστεί το αρχικό ύψος του σώματος μάζας από τη βάση του κουτιού στη θέση που το σύστημα ισορροπεί.
Έπειτα τη στιγμή t0=0 κρατάμε ακίνητο το σώμα αφήνοντας ακαριαία το κουτί ελεύθερο να κινηθεί.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το κουτί.
Την πρώτη κατάλληλη στιγμή, δίνουμε την ακαριαία την κατάλληλη ταχύτητα στο σώμα m έτσι ώστε και τα δύο σώματα να εκτελέσουν ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση υπό την επίδραση μόνο του βάρους του.
γ) Να υπολογιστεί η νέα απόσταση του σώματος από τη βάση του κουτιού που είναι κατάλληλη για τα δεδομένα μας.
δ) Αν M=m, να υπολογιστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία αφήσαμε το σώμα ελεύθερο σε σχέση με την περίοδο Τ της ταλάντωσης.
ε) Να υπολογιστεί η ταχύτητα που προσδώσαμε στο σώμα m

Απάντηση

Και γιατί μόνο ένα καρφί και όχι δύο;

H ράβδος του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ=3kg  και μήκος L=0,6m. Η ράβδος μπορεί να κινείται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο καρφί που βρίσκεται στο σημείο Ο1. Η ράβδος αφήνεται  ελεύθερη από οριζόντια θέση. Όταν διαγράψει γωνία 30o  η ράβδος συγκρούεται με  ακλόνητο  οριζόντιο καρφί που βρίσκεται σε απόσταση 0,6m  από το πρώτο καρφί στο σημείο Ο2.
Ελάχιστα πριν την κρούση  το καρφί στο Ο1 αφαιρείται ακαριαία ενώ η ράβδος συγκρούεται με το καρφί Ο2 επίσης ακαριαία  και στην συνέχεια συνεχίζει  να περιστρέφεται γύρω από το  δεύτερο καρφί  Ο2  χωρίς τριβές. Aν η  ελάχιστη ενέργεια  πρέπει να δαπανήσει  ο Μπάρμπα-Γιάννης ο σιδεράς  για να κάνει μία αντίστοιχη τρύπα  με  αυτή που έκανε το  δεύτερο καρφί  στη ράβδο είναι Emin=0,375J.
Να βρεθούν:
Α)  Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου πριν  και μετά την κρούση με το δεύτερο καρφί.
Β)  Πόση  θερμότητα θα παραχθεί κατά την κρούση στο δεύτερο καρφί Ο2.
Β)  Η κινητική ενέργεια της ράβδου  όταν η ράβδος θα γίνει κατακόρυφη για πρώτη φορά.
Για την ράβδο Ιcm=1/12∙ML2.

Κίνηση στερεού και κινητική ενέργεια

Η ανάρτηση αυτή έγινε με αφορμή την άσκηση του συναδέλφου Χρήστου Ελευθερίου με τίτλο "Περιστροφή δίσκου, γύρω από καρφί" και τη συζήτηση που ακολούθησε στη συνέχεια.

Θα ήθελα να κάνω μόνο ένα σχόλιο σχετικό με την μελέτη της κίνησης ενός στερεού:

Έχουν γίνει πολλές συζητήσεις σχετικά με την επαλληλία των κινήσεων, το κατά πόσον αποτελεί αρχή, κλπ. οι περισσότερες από τις οποίες με βρίσκουν και μένα σύμφωνο.
Ειδικά την κίνηση του στερεού συνηθίζουμε να την περιγράφουμε ως σύνθεση μιας μεταφορικής κίνησης του κέντρου μάζας και μιας περιστροφής του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Η περιγραφή αυτή τεκμηριώνεται στη Θεωρητική Μηχανική και νομίζω ότι δεν είναι "άλλη μια περίπτωση επαλληλίας κινήσεων" αλλά έχει φυσικό νόημα διότι αναφέρεται σε δύο ιδιότητες του στερεού: Το στερεό - σημείο που μεταφέρεται και το στερεό - σώμα πού αλλάζει προσανατολισμό. Κάθε μία από τις δύο αυτές κινήσεις έχει τους δικούς της (τρεις) βαθμούς ελευθερίας.

Αυτά που γράφω είναι βέβαια οι δικές μου σκέψεις. Η κίνηση του στερεού στο χώρο είναι πολύπλοκη.
Τα σχόλια ευπρόσδεκτα.
Συνέχεια...

Τετάρτη, 9 Ιουνίου 2010

η Κιβωτός του Νώε

Σε μια περιοχή της Μεσοποταμίας βρέθηκε ένα παλαιό κομμάτι Π από ξύλο που περιείχε 25*109 πυρήνες ραδιενεργού 6C14.
Στην ίδια περιοχή ένα φρέσκο κομμάτι Φ από ξύλο, ίσης μάζας με το Π, έχει ενεργότητα
( που οφείλεται στον 6C14 ) ίση με 0,8Bq.
A. Να βρεθούν:
α. η σταθερά διασπάσεως του 6C14
β. η ενεργότητα του κομματιού Π
γ. το πλήθος των πυρήνων 6C14 που υπάρχουν στο κομμάτι Φ
Β. Να ερευνήσετε αν το κομμάτι Π μπορεί να ήταν τμήμα της Κιβωτού του Νώε
Σύντομη Απάντηση

Και αν αφαιρεθεί το καρφί;

Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μάζας Μ=3Κg και μήκους  L=1m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο  καρφί   Ο που βρίσκεται στο ένα του άκρο όπως στο παρακάτω σχήμα
Στο άλλο άκρο της ράβδου ασκείται  μεταβλητή  δύναμη F κάθετη πάντα στην ράβδο της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση F=112θ/π2 (S.I.) όπου θ η γωνία που θα διαγράφει η ράβδος σε σχέση με την αρχική  οριζόντια θέση. Αν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη από την οριζόντια θέση να βρεθούν:
Α)  Η γωνιακή ταχύτητα  της ράβδου όταν η ράβδος έχει διαγράψει γωνία 90ο  σε σχέση με την αρχική της θέση.
 Β) Ποια η σχέση που θα μπορούσε να δίνει τη  γωνία για την οποία η ράβδος έχει αποκτήσει μέγιστη κινητική ενέργεια για πρώτη φορά μετά την εκκίνησή της.
Την στιγμή  t=0 που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη η δύναμη F καταργείται και αφαιρείται  ακαριαία το οριζόντιο καρφί που βρίσκεται στο σημείο Ο.
Γ)  Πόση είναι  το μέτρο της   γωνιακής ταχύτητας  της ράβδου μετά την αφαίρεση του καρφιού.
Δ)  Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει η ράβδος και πόση η συνολική του κινητική ενέργεια την στιγμή t=1s.
Για την ράβδο Ιcm=1/12∙ML2

Τρίτη, 8 Ιουνίου 2010

Σύνθετη κίνηση και Κινητική Ενέργεια.

Ή διαφορετικά αρχή επαλληλίας και Ενέργεια

Στη διάρκεια της φετινής χρονιάς στο δίκτυό μας συζητήθηκε νομίζω σε αρκετή έκταση το τι συμβαίνει σε μια σύνθετη κίνηση. Συζητήσαμε τι συμβαίνει με την διατήρηση της ενέργειας και την αρχή της επαλληλίας. Αν υπάρχει σύνθετη κίνηση ή απλά ένα σώμα κάνει μόνο μια κίνηση, την οποία ΕΜΕΙΣ για διευκόλυνση στη μελέτη μας την αναλύουμε σε δύο ή περισσότερες;
Νομίζω στην τελευταία πρόταση όλοι συμφωνήσαμε, ανεξάρτητα των επιμέρους διαφωνιών για την αξία ή όχι της αρχής της επαλληλίας.

Και αφού σε μια σύνθετη κίνηση γενικά δεν ισχύει ότι Κ=Κ12 όπου Κ  η συνολική κινητική ενέργεια και Κ1 και Κ2 οι κινητικές ενέργειες για τις επιμέρους κινήσεις, τότε γιατί αυτό ισχύει για ένα στερεό που μεταφέρεται και ταυτόχρονα στρέφεται;

Ας δούμε λοιπόν σαν εφαρμογή, πόση είναι η κινητική ενέργεια ενός ελεύθερου στερεού το οποίο μεταφέρεται με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από νοητό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του Κ, με γωνιακή ταχύτητα ω.
Πριν προχωρήσουμε θα πρέπει να τονισθούν δυο πράγματα.
1)  Όταν λέμε ταχύτητα κέντρου μάζας προφανώς εννοούμε ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, το οποίο θεωρούμε ακίνητο. Αλλά αναφερόμενοι σε αδρανειακά συστήματα, το στερεό έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, ως προς όλα τα συστήματα αναφοράς που μπορούμε να πάρουμε.
2)  Αφού η ταχύτητα αναφέρεται ως προς ένα σύστημα αναφοράς, προφανώς και η κινητική ενέργεια υπολογίζεται ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς. Στην περίπτωσή μας λοιπόν θα υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια ως προς ένα ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος, όπως στο σχήμα.
Η συνέχεια σε pdf.

Δευτέρα, 7 Ιουνίου 2010

Περιστροφή δίσκου, γύρω από καρφί.

Στο παραπάνω σχήμα λεπτότατο καρφί αμελητέας μάζας έχει μήκος L=1m και μπορεί να να περιστρέφεται ελεύθερα και οριζόντια χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα χχ΄. Η άλλη άκρη του καρφιού  είναι περασμένη στο κέντρο ομογενούς λεπτότατου δίσκου μάζας M=1K και ακτίνας R=1m. Ασκούμε στο κέντρο του δίσκου σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=1,75/π  N  συνεχώς κάθετη στο καρφί. Σε όλη την διάρκεια της κίνησης ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου μετά την εκτέλεση μίας πλήρης περιστροφής του καρφιού. Δίνεται   για τον λεπτό δίσκο ότι  Icm=0,5∙MR2. Να θεωρηθεί γνωστό το θεώρημα των καθέτων αξόνων που λέει : Η ροπή αδράνειας επίπεδου στερεού ως προς άξονα z κάθετο στο επίπεδό του, ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας ως προς δύο οποιουσδήποτε κάθετους μεταξύ τους άξονες  x,ψ που βρίσκονται στο επίπεδο του σώματος και τέμνουν κάθετα τον άξονα (Ιz=Ix+Iψ)


Σάββατο, 5 Ιουνίου 2010

Θέματα Παγκύπριων εξετάσεων στη Φυσική 2010

Δείτε τα σημερινά θέματα Φυσικής που μπήκαν στην Κύπρο από εδώ.

Σώμα δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο, δάπεδο με τριβή


Για τους νοσταλγούς των Δεσμών, συνέχεια ...

Μια απαιτητική άσκηση πάνω στο κεφάλαιο 1 του παλαιού βιβλιου:

Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k=2000N/m και το σώμα Σ που είναι δεμένο στο άκρο του έχει μάζα m=2kg. Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x0=4cm και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Το σώμα Σ αρχίζει να κινείται και τελικά ηρεμεί αφού διανύσει συνολικό διάστημα S=20cm. Να βρεθούν: ο συντελεστής τριβής μ σώματος – δαπέδου, το πλήθος ν των περασμάτων από τη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, και η θέση όπου τελικά θα σταματήσει το σώμα.
..
Συνάχεια ΕΔΩ

Παρασκευή, 4 Ιουνίου 2010

Ανάποδες στροφές

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από δύο κατακόρυφα τεταρτοκύκλια με ακτίνες R1=2m και R2= 0,25 m που συνδέονται μεταξύ τους με οριζόντιο τμήμα . Aπό την κορυφή του πρώτου τεταρτοκύκλιου αφήνουμε σφαίρα μάζας m και ακτίνας r=0,1 m.
H σφαίρα σε όλη την διάρκεια της αρχικής της κίνησης και ενώ βρίσκεται σε επαφή με τα τεταρτοκύκλια ή το οριζόντιο επίπεδο κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Α)  Να βρεθεί τo μέγιστο ύψος του κέντρου μάζας της σφαίρας από το οριζόντιο επίπεδο μετά το χάσιμο της επαφής με το δεύτερο τεταρτοκύκλιο.
Όταν η σφαίρα φτάσει στο ανώτερο σημείο  της  με την βοήθεια  κατάλληλης στιγμιαίας ροπής ζεύγους η σφαίρα αλλάζει στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα.
Β)  Να βρεθεί το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ώστε η σφαίρα μετά την επάνοδό της  να κυλήσει χωρίς να ολισθήσει πάνω στα τεταρτοκύκλια. Δίνεται η μάζα της σφαίρα m=1Kg και για την σφαίρα  Icm=0,4∙mr2.

Πέμπτη, 3 Ιουνίου 2010

Ο πρώτος εξωγήινος

Ο πρώτος εξωγήινος έφτασε στη Γη στις 3 Ιουνίου του 3010 και ανάμεσα στα άλλα δήλωσε:-Ο πλανήτης μου μοιάζει με τον δικό σας είναι σφαιρικός και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του και γύρω από τον Ήλιο του, αλλά έχει 29 φορές μικρότερη (μέση) πυκνότητα από τη (μέση) πυκνότητα του δικού σας, 29 φορές μικρότερη ακτίνα από την ακτίνα του δικού σας και 29 φορές μικρότερη στροφορμή ...
Απάντηση