Δευτέρα, 31 Μαΐου 2010

Περιστροφή μέχρι πότε;

O κύλινδρος του παρακάτω σχήματος έχει μάζα m=2Κg  και ακτίνα R=0,1m.To νήμα μπορεί να ξετυλίγεται από τον κύλινδρο και να είναι συνεχώς παράλληλο και τεντωμένο  με το οριζόντιο επίπεδο που παρουσιάζει τριβές με συντελεστή τριβής μ=0,1. Την στιγμή t=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=10N με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να αρχίσει να κινείτε περιστρεφόμενος  αριστερόστροφα , ενώ η ταχύτητα (ως προς ακίνητο παρατηρητή) του σημείου επαφής με το νήμα είναι συνεχώς μηδενική.
Tην χρονική στιγμή t1=5s  το νήμα κόβεται ενώ τη χρονική στιγμή t2=10s ο κύλινδρος μπαίνει σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Να βρεθούν:
Α)  Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου σαν συνάρτηση του χρόνου και με την βοήθεια αυτής να βρεθεί η συνολική γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου.
Β)  Η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου σαν συνάρτηση του χρόνου. Τι εκφράζει το περικλειόμενο εμβαδόν ανάμεσα στην καμπύλη και τον άξονα των χρόνων;
Γ)  Tο ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρεται στον κύλινδρο μέσω του έργου της δύναμης F, το οποίο μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια και ελευθερώθηκε στο περιβάλλον έως τη χρονική στιγμή t2=10s.
Για τον κύλινδρο Ιcm= ½ ∙M∙R2.

Παρασκευή, 28 Μαΐου 2010

Και τελικά η αβαρής ράβδος είναι ένα «ειδικό» νήμα;

Με βάση δυο προηγούμενες αναρτήσεις (Ποια δύναμη ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα; Και Η δύναμη από μια αβαρή ράβδο.) η δύναμη που ασκεί μια αβαρής ράβδος, σε ένα σώμα που συνδέεται μαζί της, έχει τη διεύθυνση της ράβδου, οπότε ή το έλκει, όπως και ένα νήμα, ή το «σπρώχνει», πράγμα που δεν μπορεί να κάνει το νήμα. Συνεπώς θα μπορούσε να υποστηρίξει κάποιος βάσιμα ότι η αβαρής ράβδος είναι ένα «ειδικό» νήμα. Είναι έτσι τα πράγματα; Ας  δούμε μια ακόμη άσκηση:
-----------------------------
Μια ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους ℓ, είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ δύο σφαίρες ίσων μαζών Μ, που θεωρούνται υλικά σημεία, έχουν αρθρωθεί η πρώτη στο μέσον της ράβδου και η άλλη στο άλλο της άκρο Γ, όπως στο σχήμα.

Η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση. Σε μια στιγμή το σύστημα αφήνεται να κινηθεί.
i)    Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας στο άκρο Γ.
ii)   Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σφαίρα στο Γ;.
iii)  Να υπολογισθεί ποια τιμή παίρνει η παραπάνω δύναμη, όταν η μάζα της ράβδου θεωρηθεί αμελητέα.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Α:
 Ι= 1/3 mℓ2.

Απαντήσεις των Θεμάτων Φυσικής Κατ. Εσπερινών Λυκείων 2010



ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑΣ Β') ΠΕΜΠΤΗ 27 ΜΑΙΟΥ 2010 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Η δύναμη από μια αβαρή ράβδο.

Με αφορμή την άσκηση των εξετάσεων αποδείξαμε ότι στην περίπτωση των δύο σωμάτων που κυλίονται οι δυνάμεις από τη ράβδο, έχουν την διεύθυνσή της. Συμβαίνει όμως πάντα αυτό; Αν π.χ. έχουμε άλλη κατάσταση θα συμβαίνει το ίδιο; Ας  δούμε την παρακάτω άσκηση.
-----------------------
Στο άκρο Γ μιας ράβδου μάζας m και μήκους ℓ, έχει αρθρωθεί μια μικρή σφαίρα, η οποία θεωρείται υλικό σημείο μάζας Μ. Το άλλο άκρο Α της ράβδου έχει αρθρωθεί σε κατακόρυφο τοίχο, και η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.
Σε μια στιγμή αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί.
i)    Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας.
ii)   Να υπολογισθεί η δύναμη που δέχεται η  σφαίρα από τη ράβδο.
iii)  Να υπολογισθεί ποια τιμή παίρνει η παραπάνω δύναμη, όταν η μάζα της ράβδου θεωρηθεί αμελητέα.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Α:
 Ι= 1/3 mℓ2.

Πέμπτη, 27 Μαΐου 2010

Θέματα Φυσικής Κατ. εσπερινών Λυκείων 2010



Δείτε τα θέματα από εδώ.

Δ4 παν. φυσ. κατ. 2010


Το Δ4 των Πανελλαδικών 2010 απαντημένο με ενεργειακή μέθοδο.
Απάντηση:

Μια παραλλαγή στο Δ θέμα.

Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίση φ=30ο αφήνουμε να κυλίσουν xωρίς να ολισθαίνουν ταυτόχρονα ένας δίσκος και  ένας  δακτύλιος ίδιας μάζας  Μ=1,4kg  και ίδιας ακτίνας R=0,1m.
Α)  Να υπολογιστεί ποιό από τα δύο σώματα θα αποκτήσει μεγαλύτερη επιτάχυνση.
Β)  Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, με  ιδανικό ελατήριο  αμελητέας μάζας και σταθεράς Κ=100Ν/m,το οποίο δεν εμποδίζει την περιστροφή και  δεν προκαλεί κάθε είδους τριβές. Το σύστημα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατερχόμενο του κεκλιμένου επιπέδου με το ελατήριο να έχει σταθερό μήκος.

Να βρεθούν:
1)  H  επιμήκυνση ή η συσπείρωση του ελατηρίου έτσι ώστε το σύστημα να κατέρχεται κυλιόμενο  χωρίς να ολισθαίνει.
2)  Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κάθε στερεού  την χρονική στιγμή t1 αν το σύστημα εκείνη την στιγμή  έχει κατέλθει κατακόρυφη απόσταση  ΔΗ=0,35 m
3)  To  ρυθμό μεταβολής  της στροφορμής του συστήματος την παραπάνω χρονική στιγμή t1.
Για τον κύλινδρο Ιcm=0,5MR2   και για το δαχτυλίδι  Icm=MR2.

Υπολογισμός της ροπής ζεύγους δυνάμεων σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου

Υπολογισμός της ροπής ζεύγους δυνάμεων σε τυχαίο σημείο Σ του χώρου (χωρίς τη χρήση διανυσματικού λογισμού).

ΕΔΩ

Τετάρτη, 26 Μαΐου 2010

Ποια δύναμη ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα;

Συνδέουμε  με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας ενός ομογενούς δίσκου και ενός  δακτυλίου, της ίδιας ακτίνας, όπως φαίνεται και στο σχήμα, με ράβδο μάζας m, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.
i)   Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στα δύο στερεά σώματα.
ii)  Πώς διαμορφώνεται η κατάσταση όταν η μάζα της ράβδου είναι πολύ μικρή;

Θέματα Φυσικής Κατ. Γεν. Λυκείων 2010


Δείτε τα θέματα εδώ.
Για τα πρώτα σχόλια κάνετε κλικ εδώ.

Τρίτη, 25 Μαΐου 2010

Με ποιά ταχύτητα έτρεχε η "Αργώ";

Έστω ότι ένα πλοίο, το “Αθήνα 2004”, απομίμηση του αρχαίου πλοίου “Αργώ”, πραγματοποίησε το έτος 2004 το ταξίδι Βόλος-Κολχίδα, με μέση ταχύτητα 10km/h, σε τόσα ημερονύχτια όσα και το Αργώ όταν πραγματοποίησε την Αργοναυτική εκστρατεία.
Να βρεθεί η μέση ταχύτητα με την οποία πραγματοποίησε το ταξίδι της η “Αργώ”.
Δεχόμαστε ότι η Γη είναι τέλεια ομογενής σφαίρα (η ροπή αδράνειας της οποίας δίνεται από τη σχέση: Ι=λmR2), και ότι με το πέρασμα του χρόνου η ακτίνα της μειώνεται, λόγω ψύξης, και είναι ίση το έτος 2004 με το 0,999 της τότε, ενώ η μάζα της παραμένει σταθερή.


Απάντηση

ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ - ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Δύο ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΟΓ του ίδιου μήκους L έχουν κατασκευαστεί η πρώτη από σίδηρο και η δεύτερη από ξύλο. Οι δύο ράβδοι έχουν συνενωθεί στο σημείο Ο κατάλληλα ώστε να μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές περί οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο των δύο ράβδων. Αρχικά οι ράβδοι συγκρατούνται οριζόντιες. Κάποια στιγμή (t=0) το σύστημα αφήνεται ελεύθερο.
ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ταλάντωση και κύλιση

Ο κύλινδρος  μάζας  Μ=1Κg  και ακτίνας R=0,1m του παρακάτω σχήματος ισορροπεί   σε οριζόντιο επίπεδο το οποίο κατά το ένα μέρος είναι λείο και στο άλλο παρουσιάζει τριβές έτσι ώστε η κατακόρυφη διάμετρος του κυλίνδρου να βρίσκεται ακριβώς στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο επιπέδων. Το ελατήριο έχει σταθερά Κ=150Ν/m και είναι συνδεδεμένο στο κέντρο του κυλίνδρου έτσι ώστε ο κύλινδρος να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας του.
Ο κύλινδρος μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει όταν βρίσκεται στην περιοχή του που το επίπεδο παρουσιάζει τριβές. Εκτρέπουμε τον κύλινδρο κατά x=10cm προς την περιοχή που το οριζόντιο επίπεδο παρουσιάζει τριβές και την στιγμή t=0 αφήνουμε τον κύλινδρο ελεύθερο. Να βρεθούν:
AO χρόνος που θα χρειασθεί ο κύλινδρος να φτάσει στην θέση  αρχικής ισορροπίας του για 2η φορά.
Β)  Η ταχύτητα του κατώτερου σημείου του κυλίνδρου την στιγμή που επιστρέφει για 2η φορά στην  αρχική θέση ισορροπίας του.
Γ)  Τη συνολική γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου  μέχρι ο κύλινδρος να επιστρέψει για 2η φορά στην θέση αρχικής ισορροπίας του.
Για τον κύλινδρο Ιcm=0,5MR2.

ΘEMA 2o

Ένα απομονωμένο ομογενές άστρο περιστρέφεται γύρω από μία διάμετρό του έχοντας κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής  Κ. Αν λόγω βαρυτικής κατάρρευσης η ακτίνα του άστρου ελλατωθεί στο μισό της αρχικής της τιμής  τότε το έργο των βαρυτικών δυνάμεων κατάρρευσης είναι
Α. Κ              Β.2Κ            Γ.3Κ
Δείτε όλες τις ερωτήσεις από εδώ.

Κυριακή, 23 Μαΐου 2010

ΤΡΕΧΟΝ ΚΥΜΑ ΚΑΙ ΦΑΣΗ



Για τα παιδια της Γ λυκειου που κοπιασαν και εργαστηκαν.

Στροφή γύρω από σταθερό άξονα. Και αν σπάσει;

Ένα στερεό Σ αποτελείται από δύο ομογενείς ράβδους που σχηματίζουν γωνία 90°, ΟΑ και ΟΓ με μήκη 2ℓ και ℓ και μάζες 2m και m αντίστοιχα, όπου ℓ=2,5m και m=10kg. Το στερεό Σ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κοινό άκρο τους Ο και ισορροπεί σε τέτοια θέση, ώστε η ΟΑ να είναι οριζόντια, με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος, που έχει δεθεί στο άκρο Α, όπως στο σχήμα, όπου το Α απέχει κατά h=22,5m από το έδαφος.
i)    Να βρεθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκείται στο  στερεό από τον άξονα στο άκρο Ο.
ii)   Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα.
α)  Ποια η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α;
β)  Να βρείτε την ταχύτητα του Α τη στιγμή που η ΟΑ γίνεται κατακόρυφη, αν το στερεό στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα.
iii)  Αν τη στιγμή που κόβαμε το νήμα, το στερεό απελευθερωνόταν ταυτόχρονα και από τον άξονα περιστροφής του στο Ο, να βρεθεί η ταχύτητα υ1 του άκρου Α, τη στιγμή που το στερεό θα κτυπήσει στο έδαφος.
iv) Αν η κρούση με το έδαφος είναι ελαστική, το στερεό Σ θα ανακλαστεί με ταχύτητα μέτρου:
α)  υ2= υ1  ή   β)  υ2< υ1
 Να επιλέξτε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την θέση σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=mℓ2/12  και g=10m/s2.


Μια ΑΑΤ και μια Ελαστική Κρούση.

Ένα σώμα Σ1 μάζας 1kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Πάνω από το σώμα Σ1 και σε απόσταση h βρίσκεται ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας 1/3kg.
Εκτρέπουμε κατακόρυφα το Σ1 κατά 0,2m και κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ. Μετά από λίγο αφήνουμε και το Σ2 να πέσει και να συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά με το Σ1. Πήραμε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για το Σ1, η οποία είχε τη μορφή του παρακάτω σχήματος.
i)   Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης, πριν και μετά την κρούση.
ii)  Ποια χρονική στιγμή για πρώτη φορά το σώμα Σ1 θα αποκτήσει επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g;
iii) Να βρεθεί η τιμή της ταχύτητας του σώματος Σ1 πριν και μετά την κρούση.
iv)  Να βρεθεί η απόσταση h.
Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα ενώ g=10m/s2.

Σάββατο, 22 Μαΐου 2010

Μια ράβδος στρέφεται στο άκρο νήματος.

Μια ερώτηση θεωρίας για 2° ΘΕΜΑ.

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους : και μάζας M ισορροπεί οριζόντια, δεμένη σε δύο κατακόρυφα νήματα, όπως στο σχήμα, όπου το πρώτο νήμα είναι δεμένο στο άκρο της Α, ενώ το δεύτερο σε σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=ℓ/4.
i) Πότε η ράβδος θα αποκτήσει μεγαλύτερη κατά μέτρο γωνιακή επιτάχυνση (στιγμιαία), όταν κόψουμε το (1) ή το (2) νήμα;


Η παρακάτω ερώτηση δεν αναφέρεται σε μαθητές αλλά σε συναδέλφους.

ii) Κόβουμε το δεύτερο νήμα και η ράβδος πέφτει. Μετά από λίγο ποια από τις τρεις παρακάτω εικόνες είναι αυτή που θα παρατηρήσουμε;

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ2/12 και g=10m/s2.

Φαινόμενο Doppler. Ανάκλαση σε κινούμενη επιφάνεια

Την περασμένη χρονιά ο Θοδωρής Παπασγουρίδης ανάρτησε την άσκηση 



Γενική άσκηση στο φαινόμενο DOPPLER.

 στην οποία εναντιώθηκε με σχόλιό του Ο Βαγγέλης Κουντούρης δίνοντας μια δική του λύση  



Μια (πολύ δύσκολη) άσκηση στο Φαινόμενο Doppler

 την οποία αποδέχτηκε ο Θοδωρής αναρτώντας πρόσφατα την 



Μια διαφορετική προσέγγιση στο φαινόμενο Doppler

 Ας δούμε λοιπόν τι συμβαίνει κατά την ανάκλαση ενός ήχου σε μια επιφάνεια και πώς αυτό επηρεάζει ένα πρόβλημα πάνω στο φαινόμενο Doppler. Ένας βασικός λόγος που με κάνει να επανέρχομαι στο θέμα είναι ότι υπάρχει παρόμοια άσκηση στο σχολικό βιβλίο, (ασκ. 5.21 ) και θα πρέπει να δοθεί μια απάντηση για τον τρόπο αντιμετώπισής της. Μένει βέβαια να κριθεί αν η παρακάτω προτεινόμενη λύση είναι ασκησιολογία ή «πραγματική φυσική», αλλά αυτό θα το κρίνετε εσείς.
.............................

Μια ηχητική πηγή παράγει ήχο συχνότητας fs=1600Ηz και κινείται με ταχύτητα υs=20m/s πλησιάζοντας σε ακίνητο παρατηρητή Α. Σε αντίθετη κατεύθυνση πλησιάζει τον παρατηρητή μια ανακλαστική επιφάνεια κινούμενη με ταχύτητα υ1=20m/s.
i)  Να βρεθούν η συχνότητα του ήχου που φτάνει απευθείας στον παρατηρητή καθώς και το μήκος κύματος αυτού του ήχου.
ii)  Η συχνότητα και το μήκος κύματος  του ήχου, που φτάνει στον παρατηρητή, μετά από την ανάκλαση του ήχου στην ανακλαστική επιφάνεια.
Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s.

Κρούση περιστρεφόμενων δίσκων και ΑΑΤ

Δίσκος μάζας Μ1=7kg και ακτίνας R=0,5m μπορεί να περιστέφεται οριζόντια χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα.Ο δίσκος ισορροπεί οριζόντιος με την βοήθεια κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου που ο άξονας του ελατηρίου συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής.Το ελατήριο είναι αρχικά συσπειρωμένο κατά 0,7m.
Δεύτερος οριζόντιος δίσκος ίδιας ακτίνας με τον πρώτο αλλά με μάζα Μ2=1Κg μπορεί να περιστέφεται οριζόντια γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα.Δίνουμε ακαριαία αρχική γωνιακή ταχύτητα ω0= 8 r/sec και αφήνουμε το δίσκο ελεύθερο να κινηθεί μόνο με την επίδραση του βάρους του.Την στιγμή που ο δεύτερος δίσκος έχει εκτελέσει γωνιακή μετατόπιση θ=6,4rad συγκρούεται με τον ακίνητο δίσκο που είναι δεμένος στο ελατήριο αλλά μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής.Μετά από λίγο το σύστημα λειτουργεί σαν ένας ενιαίος δίσκος.Να βρεθούν:
Α)Το ύψος από όπου αφέθηκε ο δεύτερος δίσκος
Β)Η κοινή γωνιακή ταχύτητα του συστήματος των δύο δίσκων και το πλάτος της κατακόρυφης ταλάντωσης των δύο δίσκων
Γ)H μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο δίσκων.
Δ)Η απώλεια ενέργειας εξαιτίας της πλαστικής κρούσης.
Δίνονται για τον δίσκο Ιcm=0,5M.R^2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πέμπτη, 20 Μαΐου 2010

Ποια άρθρωση θα δεχτεί μεγαλύτερη δύναμη ;


Το αριστερό και το δεξί σύστημα είναι ολόιδια. Οι ράβδοι έχουν αμελητέες μάζες και το ίδιο μήκος L. Οι δυο δίσκοι έχουν ίδιες μάζες και ίδιες ακτίνες. Οι αρθρώσεις Α , Β , Δ δεν παρουσιάζουν τριβές ενώ η άρθρωση Γ δεν επιτρέπει την περιστροφή του δεξιού δίσκου.

Ποια άρθρωση θα δεχτεί μεγαλύτερη δύναμη όταν οι δίσκοι βρεθούν (όχι την ίδια στιγμή) στις κατώτερες θέσεις του σχήματος ;

Ξανά η ανατροπή ενός κύβου, με κάποιες επισημάνσεις...

Ένας κύβος πλευράς α=1m και βάρους w=600Ν ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ενώ δίπλα σην πλευρά ΒΓ υπάρχει ένα μικρό εμπόδιο, το οποίο μπορεί να ασκεί οριζόντια δύναμη, παρεμποδίζοντας την ολίσθηση του κύβου.
i)   Ασκούμε πάνω του οριζόντια δύναμη F=200Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΒΕ)=0,4m. Να βρείτε και να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο.
ii)   Να αποδειχθεί ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, τόσο απομακρύνεται ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου από το κέντρο Ο του κύβου.
iii)  Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία ο κύβος ανατρέπεται;
Απάντηση:
i)  Ο κύβος ισορροπεί συνεπώς:
ΣF= 0 (1)
Στ=0 (2)
Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο είναι το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου  Ν, η οριζόντια δύναμη F και μια οριζόντια δύναμη F1 από το εμπόδιο που έχει τοποθετηθεί δίπλα στην ακμή που περνά από την κορυφή Γ.
Αφού ΣF=0
ΣFx=0 F-F1=0 F1=F=200Ν, ενώ ΣFy=0 Ν=w=600Ν.
Ας πάρουμε τώρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο Ο του κύβου:
Στ=0
τw+ τΤFΝ= 0
w·0 – F1·α/2 - F·0,1 + Ν·x = 0
Ν·x – F1 ·α/2-F·0,1 =0
x=F(0,5+0,1)/Ν (1)
x=0,2m.
Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε αν πάρουμε ότι, ως προς την κορυφή Γ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν. Πράγματι:
ΣτΓ=0
w·α/2-Ν(α/2-x) – F(α/2+0,1)=0
600·0,5-600·0,5+600·x-200·0,6=0
x=0,2m

ii) Ας θυμηθούμε την σχέση (1):
x=F(0,5+0,1)/Ν
   
Από την σχέση (2) παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης οριζόντιας δύναμης F, τόσο μετατοπίζεται προς τα δεξιά ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου.
iii)   Στην κατάσταση αυτή ο κύλινδρος είναι έτοιμος να ανατραπεί. Στην πραγματικότητα ακουμπά στο έδαφος μόνο κατά μήκος της ακμής που περνά από την κορυφή Γ.      
Όταν ο κύλινδρος θα ανατραπεί σημαίνει ότι θα περιστραφεί γύρω γύρω από άξονα που περνά από το Γ και για να συμβεί αυτό πρέπει η δεξιόστροφη ροπή της F να είναι μεγαλύτερη της αριστερόστροφης ροπής του βάρους, κατά μέτρο (οι ροπές της Ν και της F1 είναι μηδενικές):
F·(α/2+0,1)>w·α/2
F·0,6>w·0,5
F> 500Ν.
Σημείωση: Συγκρίνετε την τιμή της οριζόντιας δύναμης F που είναι απαραίτητη για την ανατροπή του κύβου στο παράδειγμα αυτό που ο κύβος είναι ακίνητος, με την αντίστοιχη τιμή της ανάρτησης: 

Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση.

που ο κύβος επιταχύνεται. Προσέξτε τη διαφορά στην αντίστοιχη αντιμετώπιση.

Δύο σώματα δεμένα στα άκρα οριζοντίου ελατηρίου και το κέντρο μάζας τους



Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος έχουν μάζες m1 και m2 αντίστοιχα και ισορροπούν δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ο άξονας του ελατηρίου είναι οριζόντιος και διέρχεται από τα κέντρα μάζας των σωμάτων. Κάποια στιγμή και ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, το Σ1 εκτοξεύεται προς το Σ2 με ταχύτητα μέτρου υο. Να μελετήσετε τις κινήσεις των δύο σωμάτων και να υπολογίσετε τη μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου.

Συνέχεια ΕΔΩ

Τετάρτη, 19 Μαΐου 2010

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ ΚΑΙ ΠΟΤΕ ΑΝΑΤΡΕΠΕΤΑΙ Η ΡΑΒΔΟΣ


Μία ομογενής ράβδος μάζας Μ=10kg και μήκους L=16m ισορροπεί πάνω σε δύο δοκούς Δ1 και Δ2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Η Δ1 βρίσκεται αριστερό άκρο της ράβδου και η Δ2 απέχει απόσταση d=10m από αυτή. Ένα μηχανικό στερεό μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,2m γύρω από το οποίο έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει τη χρονική στιγμή t=0, ξεκινώντας από το αριστερό άκρο της ράβδου με την επίδραση δύναμης F=12Ν, η οποία ασκείται στο άκρο Α του νήματος. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του είναι Ιcm=λ.mR2, όπου λ σταθερά.

α. Να βρεθεί η σταθερά λ, αν δίνεται ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του στερεού στην ράβδο οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτή από τις δοκούς είναι κάθετες σ’ αυτήν.
β. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.
γ. Η κινητική ενέργεια του στερεού τη στιγμή που φτάνει στο μέσο της ράβδου.
δ. Οι σχέσεις που δίνουν τις δυνάμεις F1 και F2 που δέχεται η ράβδος από τις δύο δοκούς σε συνάρτηση με την απόσταση x του στερεού από το άκρο της ράβδου.
ε. Η χρονική στιγμή που θα ανατραπεί η ράβδος και η μετατόπιση του άκρου Α του νήματος.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s2.

Κεντρική ανελαστική κρούση

Κύβος μάζας Μ και ακμής d ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ένα βλήμα μάζας m το οποίο κινείται οριζόντια συναντά τον κύβο με ταχύτητα υ1. Το βλήμα διαπερνά τον κύβο κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα των δύο απέναντι εδρών του, χωρίς να προκληθεί μετρήσιμη μεταβολή μάζας του κύβου. Το βλήμα τη στιγμή που βγαίνει από τον κύβο έχει ταχύτητα υ1/3. Η δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ κύβου-βλήματος θεωρείται σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του βλήματος μέσα στον κύβο, η οποία δεν είναι αμελητέα.

Να υπολογίσετε:
1. Την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση.
2. Το διάστημα που διανύει ο κύβος στο οριζόντιο δάπεδο μέχρι να βγει το βλήμα από αυτόν.
3. Το χρονικό διάστημα κίνησης του βλήματος μέσα στον κύβο.
4. Το μέτρο της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ κύβου-βλήματος.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ελατήριο και ελαστική κρούση

Δύο ελαστικές σφαίρες Σ1 και Σ2 ίδιας μάζας m είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k το οποίο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος lo. Οι σφαίρες αρχικά ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μια τρίτη σφαίρα Σ3 ίδιας μάζας m που ολισθαίνει χωρίς να στρέφεται, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Σ1 κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου υο.
1) Να δείξετε ότι οι ταχύτητες των σφαιρών Σ1 και Σ2 , μετά την κρούση θα έχουν κάθε στιγμή την ίδια φορά.
2) Να υπολογίσετε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση στην οποία βρίσκονται οι δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 .
3) Να υπολογίσετε το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής κάθε σφαίρας .
4) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ελατηρίου σε κάθε σφαίρα στο διάστημα αμέσως μετά την κρούση μέχρι να βρεθούν στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

μια παραλλαγή του 2Β

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει τυλιγμένο στην περιφέρειά του αβαρές νήμα την ελεύθερη άκρη του οποίου κρατάμε όπως φαίνεται στο σχήμα. Ασκούμε στην άκρη του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη F=30Ν οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. 
Μετά από λίγο το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί κατά χ=0,5m και η στροφική ενέργεια του κυλίνδρου είναι 6j. Όταν το κέντρο μάζας έχει μετατοπιστεί κατά 0,75τότε κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής είναι:
α. 36j    β. 30j     γ. 15j      δ12j

Διαγώνισμα στο στερεό

Β.Ο κύλινδρος του σχήματος έχει τυλιγμένο στην περιφέρειά του αβαρές νήμα την ελεύθερη άκρη του οποίου κρατάμε όπως φαίνεται στο σχήμα. Ασκούμε στην άκρη του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη F=30Ν οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει χωρίς να ολισθαίνει.
Μετά από λίγο το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί κατά χ=0,5m ,ι η στροφική ενέργεια του κυλίνδρου είναι 6j. Η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής είναι:
α. 24j        β. 20j     γ. 10j          δ. 9j
μονάδες 2

Να δικαιολογήσετε
μονάδες 7


Η συνέχεια σε..