Πέμπτη, 20 Μαΐου 2010

Ξανά η ανατροπή ενός κύβου, με κάποιες επισημάνσεις...

Ένας κύβος πλευράς α=1m και βάρους w=600Ν ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ενώ δίπλα σην πλευρά ΒΓ υπάρχει ένα μικρό εμπόδιο, το οποίο μπορεί να ασκεί οριζόντια δύναμη, παρεμποδίζοντας την ολίσθηση του κύβου.
i)   Ασκούμε πάνω του οριζόντια δύναμη F=200Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΒΕ)=0,4m. Να βρείτε και να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο.
ii)   Να αποδειχθεί ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, τόσο απομακρύνεται ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου από το κέντρο Ο του κύβου.
iii)  Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία ο κύβος ανατρέπεται;
Απάντηση:
i)  Ο κύβος ισορροπεί συνεπώς:
ΣF= 0 (1)
Στ=0 (2)
Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο είναι το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου  Ν, η οριζόντια δύναμη F και μια οριζόντια δύναμη F1 από το εμπόδιο που έχει τοποθετηθεί δίπλα στην ακμή που περνά από την κορυφή Γ.
Αφού ΣF=0
ΣFx=0 F-F1=0 F1=F=200Ν, ενώ ΣFy=0 Ν=w=600Ν.
Ας πάρουμε τώρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο Ο του κύβου:
Στ=0
τw+ τΤFΝ= 0
w·0 – F1·α/2 - F·0,1 + Ν·x = 0
Ν·x – F1 ·α/2-F·0,1 =0
x=F(0,5+0,1)/Ν (1)
x=0,2m.
Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε αν πάρουμε ότι, ως προς την κορυφή Γ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν. Πράγματι:
ΣτΓ=0
w·α/2-Ν(α/2-x) – F(α/2+0,1)=0
600·0,5-600·0,5+600·x-200·0,6=0
x=0,2m

ii) Ας θυμηθούμε την σχέση (1):
x=F(0,5+0,1)/Ν
   
Από την σχέση (2) παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης οριζόντιας δύναμης F, τόσο μετατοπίζεται προς τα δεξιά ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου.
iii)   Στην κατάσταση αυτή ο κύλινδρος είναι έτοιμος να ανατραπεί. Στην πραγματικότητα ακουμπά στο έδαφος μόνο κατά μήκος της ακμής που περνά από την κορυφή Γ.      
Όταν ο κύλινδρος θα ανατραπεί σημαίνει ότι θα περιστραφεί γύρω γύρω από άξονα που περνά από το Γ και για να συμβεί αυτό πρέπει η δεξιόστροφη ροπή της F να είναι μεγαλύτερη της αριστερόστροφης ροπής του βάρους, κατά μέτρο (οι ροπές της Ν και της F1 είναι μηδενικές):
F·(α/2+0,1)>w·α/2
F·0,6>w·0,5
F> 500Ν.
Σημείωση: Συγκρίνετε την τιμή της οριζόντιας δύναμης F που είναι απαραίτητη για την ανατροπή του κύβου στο παράδειγμα αυτό που ο κύβος είναι ακίνητος, με την αντίστοιχη τιμή της ανάρτησης: 

Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση.

που ο κύβος επιταχύνεται. Προσέξτε τη διαφορά στην αντίστοιχη αντιμετώπιση.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου