Κυριακή, 18 Απριλίου 2010

Σύστημα σανίδας - ελατηρίου πάνω σε δυο τροχούς που περιστρέφονται αντίρροπα


Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μάζας m = 10 kg , είναι τοποθετημένη πάνω σε δυο όμοιους κυλίνδρους , τα κέντρα Ο1 , Ο2 των οποίων απέχουν μεταξύ τους κατά d = 2 m.
Ο καθένας από τους παραπάνω κυλίνδρους μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που συμπίπτει με τον γεωμετρικό του άξονα. Οι άξονες περιστροφής των κυλίνδρων είναι παράλληλοι μεταξύ τους και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Η διεύθυνση της σανίδας, συμπίπτει με τον άξονα οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 960N/m , που έχει το ένα άκρο του ακλόνητο , και το άλλο δεμένο στο άκρο Β της σανίδας , όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης της σανίδας στα σημεία επαφής με τους κυλίνδρους είναι μ = 0,4 .
Αρχικά, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και η σανίδα ηρεμεί με το μέσον της, ακριβώς πάνω από το μέσον της απόστασης μεταξύ των αξόνων των κυλίνδρων οι οποίοι έχουν τεθεί σε αντίρροπες περιστροφές.
Μετακινούμε τη σανίδα προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου κατά xo = 0,4 m χωρίς να χάσει την επαφή της με τους κυλίνδρους, και την αφήνουμε ελεύθερη.
1. Να αποδείξετε ότι η σανίδα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης αυτής.
2. Με θετική τη φορά της αρχικής απομάκρυνσης της σανίδας από τη θέση ισορροπίας της να βρείτε την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την παραπάνω ταλάντωση.
3. Να βρείτε την εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο.
4. Να βρείτε τις εξισώσεις των δυνάμεων τριβής που δέχεται η σανίδα από τους κυλίνδρους στα σημεία επαφής, σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δίνεται g = 10 m /s² .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου