Τρίτη, 20 Απριλίου 2010

Συνθήκες ανακύκλωσης.


Με τον όρο ανακύκλωση, εννοούμε το φαινόμενο ένα σώμα να μπορεί να διαγράφει ένα κατακόρυφο κύκλο. Εμείς αναζητούμε την συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται, ώστε να μπορεί να συμβεί αυτό.
 Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1) το σώμα είναι δεμένο σε ράβδο (είτε με μάζα, είτε αβαρή).
Στην περίπτωση αυτή, αρκεί η ράβδος να μπορεί να φτάσει στην ανώτερη κατακόρυφη θέση, στην οποία θεωρούμε ότι η ταχύτητα μηδενίζεται.

Παράδειγμα 1°:
Μια σημειακή μάζα Σ  είναι δεμένη στο άκρο Α αβαρούς ράβδου, μήκους L, η οποία μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά περνά από το άλλο της άκρο Ο. Σε μια στιγμή μια σφαίρα που κινείται οριζόντια συγκρούεται με το σώμα Σ.

Ποια η ελάχιστη ταχύτητα του σώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση, ώστε να κάνει ανακύκλωση; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

 Απάντηση:

Έστω υ0 η ταχύτητα που αποκτά το σώμα Σ αμέσως μετά την κρούση. Για να μπορέσει να διαγράψει τον κατακόρυφο  κύκλο του σχήματος, αρκεί η ταχύτητά του στην ανώτερη θέση (2) να ικανοποιεί την σχέση υ≥ 0 και οριακά υ2=0.
Μεταξύ των θέσεων (1) και (2) η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή και θεωρώντας την θέση (1) σαν επίπεδο μηδενικής ενέργειας έχουμε:
 
Παράδειγμα 2°:
Μια σημειακή μάζα Σ m είναι δεμένη στο άκρο Α ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους L, η οποία μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά περνά από το άλλο της άκρο Ο. Σε μια στιγμή μια σφαίρα που κινείται οριζόντια συγκρούεται με το σώμα Σ.

Ποια η ελάχιστη ταχύτητα του σώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση, ώστε να κάνει ανακύκλωση;
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προν τον άξονα περιστροφής της Ι= 1/3 ΜL2.

 Απάντηση:

Έστω υ0 η ταχύτητα που αποκτά το σώμα Σ αμέσως μετά την κρούση. Για να μπορέσει να διαγράψει τον κατακόρυφο  κύκλο του σχήματος, αρκεί η ταχύτητά του στην ανώτερη θέση (2) να ικανοποιεί την σχέση υ≥ 0 και οριακά υ2=0.

Μεταξύ των θέσεων (1) και (2) η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή και θεωρώντας την θέση (1) σαν επίπεδο μηδενικής ενέργειας έχουμε:


2)    α)το σώμα είναι δεμένο στο άκρο νήματος, είτε  β)  είναι ελεύθερο και κινείται κατά μήκος ενός κατακόρυφου οδηγού. Στην περίπτωση αυτή δεν αρκεί το σώμα να φτάσει στην ανώτερη θέση, αλλά θα πρέπει στην θέση αυτή να έχει μια ελάχιστη ταχύτητα .

Και ποια είναι αυτή η ταχύτητα;
Α) Έστω ότι το σώμα, που το θεωρούμε υλικό σημείο, είναι δεμένο στο άκρο νήματος και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο.

Για την ανώτερη θέση έχουμε:

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν μειώνεται η ταχύτητα του σώματος, μειώνεται και η τάση του νήματος. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην θέση αυτή, θα είναι εκείνη για την οποία Τ=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος,  παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι:

Αυτό είναι το μέτρο της ελάχιστης ταχύτητας που πρέπει να έχει το σώμα στην ανώτερη θέση.

 Β)  Έστω τώρα μια σφαίρα, ακτίνας r, που κινείται διαγράφοντας κατακόρυφο οδηγό ακτίνας R, όπως στο σχήμα.

Για την ανώτερη θέση έχουμε:

όπου υ η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας (ταχύτητα κέντρου μάζας). Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν μειώνεται η ταχύτητα του σώματος, μειώνεται και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου Ν. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην θέση αυτή, θα είναι εκείνη για την οποία Ν=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι:

Αυτό είναι το μέτρο της ελάχιστης ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας, που πρέπει να έχει στην ανώτερη θέση.
Αν ακτίνα της σφαίρας είναι αμελητέα, R-r ≈ R και η σχέση μπορεί να γραφτεί:

      Προσέξτε ότι και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

              Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου