Τετάρτη, 30 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση δύο σωμάτων και η τάση του νήματος.

Τα σώματα Β και Γ με ίσες μάζες m1=m2=2kg ηρεμούν στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, όπως στο σχήμα. Τραβάμε το σώμα Γ προς τα κάτω απομακρύνοντάς το κατά d=0,2m και το αφήνουμε να εκτελέσει α.α.τ.

i)   Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα;
ii)  Σε μια στιγμή που η τάση του νήματος είναι ελάχιστη το νήμα κόβεται. Ποια η απόσταση των δύο σωμάτων μετά από χρόνο 1s, αν το μήκος του νήματος ήταν 0,3m;
Δίνεται g=10m/s2.

Κυριακή, 27 Σεπτεμβρίου 2009

Μερικές γραφικές παραστάσεις στην απλή αρμονική ταλάντωση.

Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Κ και Λ, όπου (ΚΛ)=0,4m και τη χρονική στιγμή t0=0, περνά από το σημείο Μ, το οποίο απέχει κατά 0,3m από το Λ, κατευθυνόμενο προς τα δεξιά, όπου θεωρούμε την κατεύθυνση θετική.

Τη στιγμή αυτή δέχεται δύναμη επαναφοράς μέτρου F=10Ν. Τη χρονική στιγμή t1=π/30s η ταχύτητα του σώματος γίνεται μέγιστη για πρώτη φορά.
i)  Να κάνετε το διάγραμμα της φάσης ταλάντωσης, σε συνάρτηση με το χρόνο σε βαθμολογημένους άξονες.
ii) Να κάνετε επίσης τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του σώματος σε βαθμολογημένους άξονες.
iii) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης που ασκείται στο σώμα, από τη στιγμή t0=0, έως τη στιγμή t1=π/15s.

Συνάντηση σωμάτων που ταλαντώνονται

Τα σώματα Α και Β του σχήματος έχουν ίσες μάζες m1=m2=m=1Kg. Τα δύο σώματα ισορροπούν πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο, με τα ελατήρια να έχουν το φυσικό τους μήκος. Τα ελατήρια έχουν ίσες σταθερές σκληρότητας k1=k2=k= 100 N/m. Η απόσταση μεταξύ των σωμάτων είναι ίση με d=10cm.

Απομακρύνουμε προς τα αριστερά το σώμα Α κατά x=20cm και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από την ηρεμία. Το σώμα Α συγκρούεται με το σώμα Β, με αποτέλεσμα κατά την κρούση των δύο σωμάτων να πραγματοποιηθεί ανταλλαγή ταχυτήτων.
i) Πόση είναι η μέγιστη συσπείρωση του κάθε ελατηρίου μετά την κρούση και ποια χρονική στιγμή εμφανίζεται;
ii) Πότε θα συναντηθούν για πρώτη φορά μετά την κρούση τα δύο σώματα και σε ποια θέση; Ποια η ταχύτητα κάθε σώματος οριακά πριν τη συνάντηση;

Αρχή μέτρησης του χρόνου t=0 θεωρούμε τη στιγμή της 1ης κρούσης και αρχή του άξονα x΄x, ο οποίος συμπίπτει με τον κοινό άξονα των δύο ελατήριων, την αρχική θέση του σώματος Α.

Δίνεται: συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ


Απάντηση

Μεταβλητή δύναμη και ταλάντωση.

Στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθερά Κ=400Ν/m στερεώνεται σώμα μάζας m=1kg,το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο. Το σώμα είναι επίσης δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου νήματος, το οποίο βρίσκεται στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου. Το σώμα ισορροπεί στην Θ.Φ.Μ.Ε. Στο άλλο άκρο του νήματος ασκείται δύναμη F=50+300x  όπου x  η απόσταση του σώματος από τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. 

Όταν η ταχύτητα του σώματος γίνεται μέγιστη το νήμα σπάει και το σώμα εκτελεί α.α.τ. Να υπολογιστούν :
α)  Το πλάτος ταλάντωσης του σώματος μετά το κόψιμο του νήματος.
β)  Να βρεθεί ο μέγιστος  ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος  μετά το κόψιμο του νήματος.
Δίνεται η σχέση ημ2x=2συνx.ημx

Σάββατο, 26 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση και κρούση. Μια παραλλαγή της άσκησης εξετάσεων του 93.

Σημειακό σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας ω=1rad/s και πλάτους A. Κάποια χρονική στιγμή και ενώ το σώμα Σ1 έχει απομάκρυνση x=3m    συγκρούεται ελαστικά με σημειακό βλήμα Σ2. Η ταχύτητα του σώματος Σ1 μεταβάλλεται ακαριαία κατά Δυ όποτε το νέο πλάτος ταλάντωσης είναι Α1=√45 m. Αν εξαιτίας διαφορετικής κρούσης είχε υποστεί μεταβολή ταχύτητας ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς - Δυ τότε το πλάτος θα γινόταν Α2=√13 m. Θεωρείστε ότι πριν και μετά τις κρούσεις το σώμα Σ1 έχει θετική φορά κίνησης.

Να υπολογίσετε:
1.  Τη  γωνιακή συχνότητα μετά από κάθε κρούση
2.  Το μέτρο της μεταβολής ταχύτητας Δυ
3.  Το αρχικό πλάτος ταλάντωσης Α
4.  Το λόγο της μεταβολής κινητικής ενέργειας βλήματος στην πρώτη κρούση προς την αντίστοιχη μεταβολή κινητική ενέργειας βλήματος στη δεύτερη κρούση κατ απόλυτη τιμή


Μείωση πλάτους και ενέργειας στη φθίνουσα ταλάντωση

Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t=0 το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί από τη θέση x=+Ao. Η δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση είναι της μορφής Fαντ=-bυ (b πολύ μικρή). Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές(Σ) και ποιες λανθασμένες(Λ).
i) Η μεταβολή του πλάτους σε κάθε περίοδο είναι σταθερή.
ii) Το % ποσοστό μεταβολής του πλάτους σε κάθε ταλάντωση είναι σταθερό.
iii) Η μεταβολή της ενέργειας σε κάθε περίοδο είναι σταθερή.
iv) Το % ποσοστό μεταβολής της ενέργειας σε κάθε περίοδο είναι σταθερό.


Απάντηση:

Πέμπτη, 24 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση ενός συστήματος σωμάτων, χωρίς κρούση.

Δίσκος μάζας Μ=1kg είναι τοποθετημένος, χωρίς να είναι δεμένος, πάνω σε ελατήριο με k=100N/m, το κάτω άκρο του οποίου είναι ακλόνητο, και ισορροπεί.

Α… Πάνω στο δίσκο τοποθετούμε χωρίς ταχύτητα σώμα ίσης μάζας m=1kg, οπότε το σύστημα αρχίζει να κατέρχεται κάνοντας ΓΑΤ.
α. Μετά από πόσο χρόνο από την τοποθέτηση του σώματος το σύστημα θα φτάσει την κατώτερη θέση του;
β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης, που δέχεται το σώμα από το δίσκο στην κατώτερη θέση.
Β… Τη στιγμή, που το σύστημα είναι στην κατώτερη θέση, αφαιρούμε το σώμα.
γ. Σε πόσο χρόνο μετά την αφαίρεση του σώματος ο δίσκος περνά από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου;
δ. πόση ταχύτητα έχει εκεί και σε πόσο μέγιστο ύψος (ως προς την κατώτερη θέση) τελικά θα φτάσει;
Δίνεται g=10m/s2.

AAT ενός κλωβού.

Ο κλωβός του σχήματος είναι δεμένος στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατήριου το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Στην οροφή του κλωβού είναι κολλημένο σώμα ίσης μάζας με αυτόν και η διάταξη ισορροπεί. 

Η επιμήκυνση του ελατήριου είναι Δl = 20cm. Κάποια στιγμή το σώμα ξεκολλά από την οροφή και συγκρούεται πλαστικά με το δάπεδο του κλωβού όταν αυτός βρίσκεται στην ανωτάτη θέση του. Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος και το ύψος του κλωβού. Δίνεται π2=10.


Τετάρτη, 23 Σεπτεμβρίου 2009

Σχεδιασμός γραφικής παράστασης

Μία ανάρτηση σχετικά με την σχεδίαση της γραφικής παράστασης συναρτήσεων x=f(t), u=f(t) και α=f(t) στην α.α.τ, όταν η αρχική φάση είναι διαφορετική από μηδέν. Είναι συμπληρωματική της πρόσφατης ανάρτησης του κ. Μάργαρη. Φυσικά διαβάζοντας την αντίστοιχη του κ. Μάργαρη συνειδητοποίησα πόσα ακόμα έχουμε να μάθουμε(και εγώ πρώτος) από αυτή την ανταλλαγή στο δίκτυο (και πάλι κ.Μάργαρη σας ευχαριστούμε).


Θέμα εξετάσεων Κύπρου 1994..

Το σχήμα δείχνει ένα κουτί μάζας Μ και εσωτερικού ύψους h, κρεμασμένο στο ένα άκρο ελατηρίου κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ. Αρχικά το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία. Ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας m είναι προσκολλημένο στο εσωτερικό του κουτιού και στο πάνω μέρος του κουτιού. Ξαφνικά, η πλαστελίνη αποκολλάται και πέφτει ελεύθερα προς τα κάτω. Η πλαστελίνη κτυπά στο κάτω μέρος του κουτιού και προσκολλάται σε αυτό, ακριβώς τη στιγμή που το κουτί βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της ταλάντωσής του.

α)Να δείξετε ότι το εσωτερικό ύψος του κουτιού είναι:  h=2mg/K  + π2Mg/2K
β)Να δείξετε ότι το νέο πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος μετά την πλαστική κρούση, δίνεται από την σχέση:
Ao΄=(mg/K)(4+π2Μ/(Μ+m) )1/2

Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση εμβόλου

Κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο και κλείνεται με έμβολο μάζας m και εμβαδού Α, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το έμβολο ισορροπεί και το δοχείο είναι στραμμένο με τη βάση προς τα κάτω. Η ατμοσφαιρική πίεση είναι patm και ο όγκος που καταλαμβάνει το αέριο V1 . Απομακρύνουμε λίγο το έμβολο, προς τα κάτω από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Θεωρώντας τη θερμοκρασία του αερίου σταθερή, να δείξετε ότι το έμβολο εκτελεί Α.Α.Τ και να υπολογίσετε την περίοδο Τ. Δίνεται η g.
Εξετάστε το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας το δοχείο στραμμένο με τη βάση προς τα πάνω.


Απάντηση

Γραφικές Παραστάσεις Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων.

Κατά την μελέτη των Ταλαντώσεων, αλλά και των κυμάτων, συχνά απαιτείται να κάνουμε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, οι οποίες είναι αρμονικές. Άλλωστε αυτό που χαρακτηρίζει τις αρμονικές ταλαντώσεις ή το αρμονικό κύμα, είναι η αρμονικότητα.
Τι μορφή έχει λοιπόν μια τέτοια συνάρτηση, που στην περίπτωσή μας θα δίνει ένα μέγεθος σε συνάρτηση με το χρόνο;
Η μορφή κάθε τέτοιας συνάρτησης είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.


σχήμα (1)
Από εκεί και πέρα, το πρόβλημα είναι πού θα τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων, ποια στιγμή θα πάρουμε δηλαδή σαν t=0, ή ποια θέση είναι αυτή για την οποία x=0;




1)  Έστω η συνάρτηση x=Αημωt. Η κλασική ημιτονοειδής συνάρτηση. Προφανώς για t=0 θα έχουμε x=0, ενώ όταν αυξηθεί λίγο ο χρόνος (αμέσως μετά τη στιγμή μηδέν) το ημίτονο θα γίνει θετικό. Συνεπώς η γραφική παράσταση θα προκύψει από την παραπάνω εικόνα, αν τοποθετήσουμε τους άξονες, όπως στο παρακάτω σχήμα:


σχήμα (2)
και επειδή δεν συζητάμε για αρνητικούς χρόνους, τελικά η γραφική παράσταση της σχέσης:
x=Αημωt, 
είναι αυτή του παρακάτω σχήματος:


σχήμα (3)
2)  Ας πάρουμε τώρα την συνάρτηση x=Α∙συνωt. Συνημιτονοειδής συνάρτηση. Για t=0 x=+Α, άρα στο μέγιστο της καμπύλης. Ξεκινώντας λοιπόν από την αρχική εικόνα, θα σχεδιάσουμε τους άξονες, όπως στο σχήμα:


σχήμα (4)
και πάλι κόβουμε το αρνητικό κομμάτι των χρόνων και έχουμε:


σχήμα (5)
Ένα σχόλιο και ένα Συμπέρασμα.
Η συνάρτηση x=Α∙συνωt γράφεται και x=Α∙ημ(ωt+π/2). Αν παρατηρήσουμε τα σχήματα (2) και (4) θα δούμε ότι στην πραγματικότητα έχουμε μεταφέρει τον κατακόρυφο άξονα στο (4) προς τα δεξιά, μετατοπίζοντάς τον κατά γωνία π/2, που αντιστοιχεί σε χρόνο Τ/4. Αυτό είναι ένα γενικότερο συμπέρασμα το οποίο μπορούμε να εφαρμόζουμε:
«Αν η φάση είναι ωt+φ0, ο άξονας μετατοπίζεται προς τα δεξιά, ενώ αν φ=ωt-φ0 θα τον μετατοπίζουμε προς τα αριστερά.»

Εφαρμογή 1η:
Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i)  x=Α∙ημ(ωt+π/6)
ii) x= Α∙ημ(ωt+ 5π/6) και
iii)  x=Α∙ημ(ωt-2π/3)


3)  Έστω τώρα ότι έχουμε την συνάρτηση:
y= 20+10∙ημωt
      Η συνάρτηση είναι ημιτονοειδής, συνεπώς θα έχει τη μορφή του σχήματος (1), αλλά σε κάθε τιμή θα προστίθεται η σταθερή τιμή 20. Άρα η καμπύλη θα είναι μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά 20, με αποτέλεσμα να έχει τη μορφή του σχήματος:


Εφαρμογή 2η:
Ένα σώμα κρέμεται στο κάτω άκρο ελατηρίου. Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο πάνω  του, για την οποία γνωρίζουμε ότι η τιμή της δίνεται από τη σχέση:
i)   Fελ= 10+20ημ(2πt)  (μονάδες στο S.Ι.).
ii)  Fελ= -10 +15ημ(2πt+π)  (μονάδες στο S.Ι.)


4) Και μερικές ακόμη χρήσιμες περιπτώσεις:
α) Αν έχουμε δύο ταλαντώσεις όπου οι απομακρύνσεις έχουν εξισώσεις:
x1= Α∙ημ(ωt) και x2=Α∙ημ(2ωt)
Η δεύτερη ταλάντωση έχει διπλάσια γωνιακή συχνότητα, άρα και συχνότητα από την πρώτη. Συνεπώς θα έχει την μισή περίοδο, ή με άλλα λόγια σε χρόνο όσο διαρκεί η περίοδος της πρώτης, η δεύτερη θα κάνει δύο εναλλαγές.


Παράδειγμα 1ο:
Οι απομακρύνσεις δύο υλικών σημείων που εκτελούν α.α.τ. δίνονται από τις εξισώσεις:
x1= 2∙ημ2πt  και x2= 2∙ημ4πt  (μονάδες στο S.Ι.)
Να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω απομακρύνσεις σε συνάρτηση με το χρόνο.
Απάντηση:
Η περίοδος της πρώτης είναι Τ1=1s, ενώ της δεύτερης Τ2=0,5s και οι γραφικές παραστάσεις είναι:

β)  Και αν θέλουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  x= Α∙ημ2ωt;
Η παραπάνω σχέση γράφεται:

Συνεπώς η συνάρτηση είναι συνημιτονοειδής μετατοπισμένη όμως προς τα πάνω κατά Α/2 και ξεκινώντας για t=0 από την τιμή x=0. Έχουμε δηλαδή την παρακάτω καμπύλη.

Προσέξτε ότι σε χρόνο μιας περιόδου, έχουμε δύο εναλλαγές (αφού τελικά η γραφική παράσταση είναι του συν(2ωt).
Παράδειγμα 2ο:
Σε μια α.α.τ. η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας δίνεται από τη σχέση U=Ε∙συν2ωt. Να γίνει η γραφική της παράσταση.
Απάντηση:
Με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας παίρνουμε:

Συνεπώς και πάλι έχουμε συνημιτονοειδή καμπύλη, διπλάσιας συχνότητας μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά Ε/2, όπου για t=0, U=Ε.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.


Κυριακή, 20 Σεπτεμβρίου 2009

Τεμαχισμός ελατηρίου

Ιδανικό ελατήριο έχει φυσικό μήκος l0 και σταθερά κ. Κόβουμε το ελατήριο σε δύο κομμάτια με μήκη l1 ,l2 τέτοια ώστε l1/l2=2/3. Στερεώνουμε τα ελατήρια με το ένα τους άκρο σε οροφή και στο άλλο άκρο συνδέουμε στο καθένα σώμα μάζας m. Εκτρέπουμε τα σώματα από τη Θ.Ι και τα αφήνουμε ελεύθερα να εκτελέσουν Α.Α.Τ Να βρείτε το λόγο των συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων.

Ταλάντωση δύο σωμάτων

Δύο υλικά σημεία εκτελούν Α.Α.Τ πάνω στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις έχουν ίδιο πλάτος Α και ίδια περίοδο Τ. Οι απομακρύνσεις από τη Θ.Ι δίνονται από τις σχέσεις:
x1=Αημ(ωt+π/2) και x2= Αημ(ωt+π).

α) Να σχεδιάσετε σε κοινό σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις x1-t , x2-t.
β) Πόση είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ των υλικών σημείων;
γ) Ποιες χρονικές στιγμές η απόσταση μεταξύ των υλικών σημείων είναι μέγιστη για πρώτη και πότε για έβδομη φορά;


ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πέμπτη, 17 Σεπτεμβρίου 2009

Χρόνος επαφής και κύκλος αναφοράς Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 2kg αφήνεται από ορισμένο ύψος να πέσει στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς 200Ν/m, όπως στο σχήμα.
Το σώμα συσπειρώνει το ελατήριο κατά 0,3m, πριν κινηθεί ξανά προς τα πάνω επιστρέφοντας στην αρχική του θέση. Για πόσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο;

Τετάρτη, 16 Σεπτεμβρίου 2009

Κρούση και ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=9kg ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m. Από ύψος 5m πάνω από το σώμα Σ, ρίχνουμε κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s ένα σώμα Σ1 μά­ζας 1kg που σφηνώνεται στο σώμα Σ. Να βρείτε:

1) την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση
2) το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστημα των δύο σωμάτων. g=10m/s2.

Τρίτη, 15 Σεπτεμβρίου 2009

Επιλέξτε τα σωστά διαγράμματα σε μια ταλάντωση.

Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ ξεκινώντας από τη θέση x=+Α για t=0. 
i)  Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστά, την Κινητική, Δυναμική και την Ενέργεια ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο;
ii) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστά την απομάκρυνση, τη ταχύτητα και την συνισταμένη δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο;
Απάντηση:

Κυριακή, 13 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση και αρχική φάση

Ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, την χρονική στιγμή t=0 μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε θέση μεταξύ x=-A και x=A του άξονα ταλάντωσης. Η θέση στην οποία βρίσκεται τη χρονική στιγμή t=0 και η κατεύθυνση κίνησής του, δηλαδή οι αρχικές συνθήκες, θα καθορίσουν την αρχική φάση της ταλάντωσης. Στο επισυναπτόμενο αρχείο, απεικονίζονται διάφορες πιθανές θέσεις (χαρακτηριστικές) όπου μπορεί να βρίσκεται το σώμα την χρονική στιγμή t=0 (και προσοχή δεν είναι μόνο αυτές, είναι και οποιοαδήποετε άλλη μεταξύ αυτών) και οι αντίστοιχες τιμές αρχικής φάσης.


Ταλάντωση και αρχική φάση

Αρχική φάση κύματος

Δίνεται μηχανικό κύμα με Α=0,2m  που κινείται θετικά  με ταχύτητα υ=1m/s. Αν η γραφική παράσταση  της φάσης του σε συνάρτηση με το  χρόνο δίνεται  από το παρακάτω διάγραμμα :

 α. Να  βρεθούν  η αρχική  φάση  και το μήκος κύματος 
      β. Να γραφεί η εξίσωση  του κύματος
      γ. Να  γίνει το στιγμιότυπο του κύματος  την  t=0,6s.

Σάββατο, 12 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση με κατακόρυφο ελατήριο

Μια άσκηση ταλάντωσης με κατακόρυφο ελατήριο σε απόδοση στα ελληνικά από έναν οδηγό μελέτης (Study Guide) για το γνωστό βιβλίο της Φυσικής των Halliday Resnick, σε βήματα κατευθυνόμενης πορείας.
Σώμα μάζας 5kg δένεται σε κατακόρυφο ελατήριο, που επιμηκύνεται κατά 0,1m μέχρι τη θέση ισορροπίας. Εκεί του δίνεται ταχύτητα 2m/s με φορά προς τα κάτω.
Ξεκινάει με απλές ερωτήσεις (μπορεί να φαίνονται αστείες) να βρεθεί η σταθερά k του ελατήριου, η περίοδος της ταλάντωσης, για να προχωρήσει στην εύρεση της χρονικής εξίσωσης της απομάκρυνσης και μετά να ανεβάσει …στροφές ζητώντας τη μέγιστη δύναμη του ελατήριου, τη συνισταμένη δύναμη σε διάφορες θέσεις και τέλος τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης Fελ και της Σf συναρτήσει της απομάκρυνσης.
Νομίζω ότι η αξία έγκειται στο τρόπο διδασκαλίας της άσκησης, σκαλοπάτι – σκαλοπάτι στη σκέψη, ή μπουκιά – μπουκιά να ανοίξει η όρεξη.
Στην πρώτη στήλη αριστερά, είναι οι κατάλληλες ερωτήσεις του δάσκαλου, πολλές φορές δίνει νύξεις για την απάντηση, ζητώντας από το μαθητή να θυμηθεί τον τύπο, την εξίσωση, που θα εκμαιεύσουν τις απαντήσεις που δίνονται στην δεύτερη στήλη δεξιά, τα σχήματα που χρειάζονται για τη λύση.
Άλλαξα μερικούς αριθμούς, ώστε τα αποτελέσματα να ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, την τιμή του g για εύκολες πράξεις, πρόσθεσα μερικές ερωτήσεις.
Μόνο που τα ελατήρια που υπάρχουν στα εργαστήρια, των σχολείων τουλάχιστον, δεν συμπιέζονται πάνω από την αρχική τους φυσική κατάσταση (ΘΦΜ)…
Η θεωρία, θα πείτε, (οι εξετάσεις) δεν συμβαδίζουν αναγκαστικά με την πράξη (και τη ζωή)..
Πατώντας εδώ, η άσκηση έρχεται και αποθηκεύεται σε μορφή pdf.

Πέμπτη, 10 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση και σύστημα σωμάτων. Πού αποχωρίζονται;

Για να ξεπερασθούν οι δυσκολίες της άσκησης 1.46 του σχολικού βιβλίου...
Το σύστημα των σωμάτων Α και Β με μάζες m1 και m2 εφάπτονται μεταξύ τους και ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το σώμα Α είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς Κ, όπως στο σχήμα. 
Σπρώχνουμε το σώμα Β συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Α και αφήνουμε το σύστημα να ταλαντωθεί.
Α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.
i) Το σύστημα εκτελεί α.α.τ. με σταθερά D=Κ.
ii) Το σώμα Α εκτελεί α.α.τ. με σταθερά D=Κ.
iii) Το σώμα Α εκτελεί α.α.τ. επειδή δέχεται την δύναμη του ελατηρίου με μέτρο Fελ=Κ·Δl=K·x.
iv) Το σώμα Β δέχεται δύναμη από το ελατήριο και γι’ αυτό θα κινηθεί προς τα δεξιά.
Β) Το σώμα Β δέχεται οριζόντια δύναμη F21 από το σώμα Α η οποία δίνεται από την εξίσωση:
i) F21= - Κ·x
ii) F21= - D2·x
iii) F21= - m2ω2·x
iv) F21= - m2·Kx /(m1+m2)
v) F21m2α

Ποιες από τις παραπάνω σχέσεις είναι σωστές;
Γ) Σε ποια θέση μηδενίζεται η δύναμη F21;
Δ) Τι κίνηση θα εκτελέσει κάθε σώμα μετά την θέση x=0 και γιατί;
Ε) Μόλις αποχωριστούν τα δύο σώματα:
i) Το σώμα Α θα συνεχίσει να εκτελεί α.α.τ. με την ίδια περίοδο.
ii) Το σώμα Α θα συνεχίσει να εκτελεί α.α.τ. με σταθερά D=Κ.
iii) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος Α δεν θα αλλάξει.
iv) Η μέγιστη δύναμη που δέχεται το σώμα Α από το ελατήριο θα μεταβληθεί.
v) Η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α δεν θα μεταβληθεί.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ
ΠΕΜΠΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2009
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΘΕΜΑ 1ο
Στις ημιτελείς προτάσεις 1 έως και 4 που ακολουθούν, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της βασικής φράσης και δίπλα του το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμά της.
1. Για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα, αρκεί...

Συνέχεια...

Ταλάντωση σε πλάγιο επίπεδο και κρούση.


Το σώμα Α μάζας m1=2kg ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς Κ=200Ν/m. Το σώμα Α δεν εμφανίζει τριβές με το επίπεδο. Μετακινούμε το σώμα συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά d=0,5m και το αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα Α θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
ii)   Πόση ενέργεια καταναλώσαμε για την μετακίνηση του σώματος Α κατά d.
iii) Μετά από μετατόπιση του σώματος Α κατά s=0,9m, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο σώμα Β μάζας m2=1kg, το οποίο ήταν ακίνητο. Μετά την κρούση το σώμα Β διανύει απόσταση 0,8m κατά μήκος του επιπέδου.
α)   Να βρεθεί η τριβή που ασκήθηκε στο σώμα Β κατά την κίνησή του.
β) Να υπολογισθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α μετά την κρούση.
γ)   Να εξετασθεί αν τα δύο σώματα θα ξανασυγκρουσθούν.
Δίνεται g=10m/s2.