Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s

iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:

υ=λf → f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s

Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ₀=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:

y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)

Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:

t₁= d/υ = (x+1)/4  s

και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του θα δίνεται από την εξίσωση:

y= 0,1∙ημ[4π(t-t₁)+π] →

y= 0,1∙ημ[4π(t- (x+1)4)+π] →

y= 0,1∙ημ2π (2t-x/2- ½ + ½ ) →

y=  0,1∙ημ2π(2t – x/2)  (S.Ι.)  (1)

Αυτή είναι και η εξίσωση του κύματος.

ii) Αντικαθιστώντας  στην εξίσωση του κύματος t=1s παίρνουμε:

y=  0,1∙ημ2π(2-x/2) = 0,1∙ημ(4π-πx)

Εξάλλου σε χρονικό διάστημα 1s το κύμα έχει διαδοθεί κατά Δx=υ∙t₁= 4m, έχοντας φτάσει στη θέση x=3m και το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι:

iii) Η εξίσωση του κύματος που προέκυψε (εξ.1) έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση του σχολικού βιβλίου και όμως περιγράφει ένα εντελώς διαφορετικό κύμα. Έτσι ξανα-τονίζω το σχόλιο της προηγούμενης ανάρτησης:

«Συνεπώς δεν αρκεί να ξέρω την εξίσωση του κύματος για να σχεδιάσω ένα στιγμιότυπο. Κρίσιμη πληροφορία είναι η εξής: Το σημείο στο οποίο φτάνει τα κύμα θα αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο προς τα πάνω ή προς τα κάτω;»

Μπορείτε να το κατεβάσετε και σε pdf.

ή

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;